数学物理方程

第一章 典型偏微分方程的导出和定解问题

1．1 基本概念

1．1．1 偏微分方程

1．1．2 线性偏微分方程、拟线性偏微分方程和非线性偏微分方程

1．1．3 解和定解问题

1．1．4 定解问题的适定性

1．2 典型偏微分方程的导出

1．2．1 波动方程

1．2．2 热传导方程

1．2．3 泊松方程和调和方程

1．3 定解问题的提法

1．3．1 波动方程的定解问题

1．3．2 热传导方程的定解问题

1．3．3 泊松方程和调和方程的定解问题

1．4 线性偏微分方程的叠加原理

习题一

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第二章 波动方程

2．1 一维齐次波动方程的初值问题

2．1．1 达朗贝尔公式

2．1．2 特征线法

2．1．3 反射波法

2．2 波动方程混合问题的分离变量法

2．2．1 分离变量法的基本思想

2．2．2 基本工具

2．2．3 分离变量法实例分析

2．3 多维齐次波动方程的初值问题

2．3．1 球对称情形下三维波动方程的解

2．3．2 三维波动方程的泊松公式

2．3．3 二维波动方程的泊松公式

2．3．4 高维波动方程初值问题解的物理意义

2．4 波动方程的其他类型问题

2．4．1 一维非齐次波动方程的初值问题

2．4．2 带有非齐次边界的一维齐次波动方程的混合问题

习题二

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第三章 热传导方程

3．1 初值问题

3．1．1 傅里叶变换法

3．1．2 拉普拉斯变换法

3．2 热传导方程的混合问题

3．3 热传导方程的极值原理与能量方法

习题三

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第四章 拉普拉斯方程与格林函数法

4．1 拉普拉斯方程定解问题的提法

4．2 调和函数及其基本性质

4．2．1 格林公式

4．2．2 基本积分公式

4．2．3 基本性质

4．3 格林函数

4．3．1 引进格林函数的动机及其基本性质

4．3．2 镜像法

4．3．3 解的验证

4．4 强极值原理

4．4．1 极强值原理

4．4．2 拉普拉斯方程第二边值问题解的唯一性

习题四

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第五章 各类定解问题的近似解法

5．1 差分法

5．1．1 基本概念

5．1．2 拉普拉斯方程边值问题的差分解法

5．1．3 波动方程第一类边界条件混合问题的差分解法

5．1．4 热传导方程的差分格式

5．2 变分法

5．2．1 变分问题

5．2．2 基本引理、极值的必要条件

5．2．3 变分原理（狄利克雷定理）

5．2．4 里兹法

5．2．5 迦辽金法

5．3 有限元法

5．3．1 区域网格的剖分

5．3．2 列出计算格式

习题五

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第六章 热传导方程与定解问题的适定性

6．1 热传导方程的Cauchy问题

6．2 一维热传导方程的混合问题

6．3 混合问题的适定性

6．4 三类典型方程定解问题提法比较

习题六

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第七章 二阶线性偏微分方程的分类和化简

7．1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简

7．1．1 特征方程和特征线

7．1．2 二阶线性偏微分方程的分类及其标准形

7．2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简

7．2．1 二阶多元线性偏微分方程的分类

7．2．2 二阶多元线性偏微分方程的化简及其标准形

7．3 三类典型方程的比较

习题七

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参考文献