情况下可以忽略不计，但在原子物体的情况下则不行；因为这些物体可受到例如光辐射十分强烈的影响。因此不可能在一个原子已被测量后直接从测量结果中推论出它的状态。所以测量不能作为预测的基础。大家承认，借助新的测量总有可能在前次测量以后确定物体的状态，但是系统却因而又以不可预测的方式受到干扰。并且大家承认，总有可能以这样的方式安排我们的实验，使要测量的状态的某些特征——例如粒子的动量——不受扰动。但是，这只有以更严重地干扰要测量的状态的某些示性量值（在这种情况下是粒子的位置）为代价，才有可能做到这一点。如果两个量值以这种方式相关，那么下列定理就适用于它们；它们不可能同时精确加以测量，尽管每一个都可如此分别加以测量。因此如果我们增加两个测量之一的精确性——比方说动量px，从而缩小△px误差的域或间距——那么我们就必然会降低位置座标x测量的精确性，即扩大△x的间距。这样，根据heisenberg的意见，可达到的最大的精确性是受测不准关系限制的。
△x.△px≥h/4π
同样的关系也适用于其它坐标。这个公式告诉我们，两个误差域的积至少是h个数量级，h是planck的作用量子。从这个公式得出的结论是：这两个量值之一的完全精确的测量将不得不以另一个的完全不确定性为代价。
根据heisenberg的测不准关系，对位置的任何测量干扰了相应的动量部分。因此原则上不可能预测一个粒子的轨迹。“在新的力学中，‘轨迹’概念没有任何确定的意义……”
但是在这里出现了另一个困难。测不准关系只应用于属于已进行测量后的粒子的（表示物理状态特性的）量值。一个电子的位置和动量直到测量那瞬间以前原则上能够以无限的精确性加以确定。这是这一事实的必然结果，即毕竟有可能前后相继地进行若干次测量操作。因此，通过把（a）位置的两次测量结果，（b）先作动量测量的位置测量结果，以及（c）后作动量测量的位置测量结果结合起来，就可借助所得数据计算出两次测量之间整个时期内精确的位置和动量坐标。（开始我们可把我们的考虑限于这个时期。）但是根据heisenberg的意见，这些精确的计算对于预测是无用的：所以也就不可能去检验它们。之所以如此，是因为这种计算对于两次实验之间的轨迹是有效的，仅当第二次实验是第一次的直接后继者，即在它们之间没有干扰发生时。为检查两次实验之间轨迹而安排任何检验必然会干扰得如此厉害，以致使我们对确切轨迹的计算变得无效。heisenberg谈到这些精确计算时说：“……人们是否应把任何物理实在赋予计算出的电子的过去历史，这是一个纯粹的趣味问题。”显然他通过这句话要想说的是，这些不可检验的轨迹计算，从物理学家的观点看没有任何意义。schlick对heisenberg这段话评论如下：“我要表示我自己与bohr和heisenberg两人的基本观点是完全一致的，我认为他们这些观点是无可争辩的。如果有关在原子范围内一个电子的位置的陈述是不可能证实的，那么我们不可能把任何意义赋予它；谈论在两点（在这两点观察到了某一粒子）之间该粒子的轨迹是不可能的”。（在march）weyl和其他人那里可找到类似的评论。
然而正如我们刚才听到过的那样，用新的形式体系计算这样一种“无意义的”或形而上学的轨迹是可能的。并且这表明heisenberg不能把他的纲领贯彻到底。因为这种事态只允许有两种解释。第一种解释是，粒子有一个确切的位置和确切的动量（因此也有确切的轨迹），但是我们不可能同时测量它们二者。如果是如此，那么自然界仍然倾向于隐藏某些物理量值不让我们的眼睛看见；隐藏的实际上既不是粒子的位置，也不是它的动量，而是这两个量值的组合，“位置加动量”或“轨迹”。这种解释认为测不准原理是我们知识的一种限制；因此它是主观的，另一可能的解释是客观的解释，它断言把某种界限截然分明的“位置加动量”或“轨迹”赋予粒子是不允许的或不正确的，或是形而上学的：它根本没有“轨迹”，只有结合着不确切动量的确切位置，或结合着不确切位置的确切动量。但是如果我们接受这种解释，那么理论的形式体系又包含形而上学的因素：因为正如我们已看过的那样，在用观察检验粒子原则上是不可能的那些时间内，粒子的“轨迹”或“位置加动量”是可精确计算的。
测不准关系的支持者如何在主观看法和客观看法之间摇摆，是看得很清楚的。例如，正如我们已看到的，schlick在支持客观观点之后立刻写道：“关于自然事件本身，说什么、‘模糊性’或‘不准确性’，是不可能有什么意义的。这类词只能用于我们自己的思想（尤其是如果我们不知道哪些陈述……是真的）”：这种评论显然反对的正是那个客观解释，这种解释认为不是我们的知识，而是粒子的动量，可以说由于使它的位置得到精确测量而被弄得“模糊”。其他许多作者也显示了类似的动摇。但是不管人们决定支持客观观点还是主观观点，事实仍然是：heisenberg的纲领并没有得到贯彻，他在他给自己布置的把一切形而上学因素驱逐出原子论的任务中并未取得成功。所以，heisenberg试图把两个对立的解释融合在一起并没有获得任何成就，他说“……在这个意义上的‘客观’物理学，即把世界截然划分为客体和主体实际上已不再是可能的了。”heisenberg迄今尚未完成他给自己布置的任务：他尚未清除掉量子论中的形而上学因素。
74．量子论的统计学解释概要
heisenberg在推导测不准关系时仿效bohr，利用了这样一个思想：原子过程可以用“量子论的粒子图象”表示，也可以用“量子论的波图象”表示，二者表示得一样好。
这个思想是与现代量子论沿着两条不同的道路进展这个事实是有联系的。heisenberg从经典的电子粒子理论开始，他按照量子论重新解释了这个理论：而schradinger则从（同样经典的）de-broglie的波理论出发：他把“波包”（wave－packet）、即一组振蕩（通过干扰这个振蕩在一个小范围内互相增强，在此小范围外则彼此抑制）同每一个电子协调起来。schrodinger后来表明，他的波动力学导致数学上与heisenherg的粒子力学等价的结果。
粒子图象和波图象这两种根本不同的图象却是等价的，这种佯谬先由born对这两种理论的统计学解释解决的。他证明波理论也可被看作为粒子理论；因为schrodinger的波方程式能作这样的解释：它提供给我们在一定空间范围内发现粒子的概率。（概率是由波幅平方决定的；在波包内波互相增强，概率就大，在波包外波就消失。）
量子论应作统计学解释是由不同的问题境况方面提示的。自从einstein提出光子（或光量子）以来，量子论的最重要的任务－－原子光谱的演绎——不得不被认为是一种统计学的工作。因为这个假说把观察到的光效应解释为大数现象，解释为由于许多光子射入所致。“原子物理学的实验方法……在经验指导下，已成为惟独与统计学问题有关。为观察到的规律性提供系统理论的量子力学在每一方面都与实验物理学的现状相一致；因为它从一开始就把自己限于统计学问题和统计学解答。
只是把它应用于原子物理学问题时，量子论才获得不同于古典物理学的结果。在把它应用于宏观过程时，它的公式产生十分近似古典力学的结果。march说：“根据量子论，如果把古典力学定律看作为统计学平均数之间关系的陈述，那么它们就是有效的”。换言之，古典的公式可演绎为宏观定律。
在某些著作中试图用这事实来说明量子论的统计学解释，即测量物理量值时所能达到的精确性，受heisenberg测不准关系的限制。有人论证说，由于在任何原子实验中测量的这种测不准性，“……结果一般不是确定的，即如果实验在相同条件下重复若干次，可获得若干不同的结果。如果实验重复的次数很大，就会发现每一个特定的结果都是在总次数中确定的几次获得的，因此人们可以说，在从事实验的任何时候结果的获得有一个确定的概率”。（dirac）march也就测不准关系写道：“在过去和将来之间……只有概率关系；由此可清楚看出，新力学的性质必定是统计学理论的性质。”
我认为对测不准公式和量子论的统计学解释之间的关系的这种分析是不能接受的。在我看来逻辑关系正好相反。因为我们能从schrodinger的波方程式（它是应作统计学解释的）中推导出测不准公式，但不能从测不准公式推导出前者。如果我们对这些可推导性关系给予足够的重视，那么测不准公式的解释就得修改。
75．用统计学对测不准公式作重新解释
自从heisenberg以来，以超出他的测不准关系所允许的精确性同时测量位置和动量是与量子论矛盾的这一事实已被承认为确定的事实。人们认为，“禁止”精确测量，能够从量子论或波动力学中合乎逻辑地推导出来。根据这个观点，如果进行的实验能够得到的测量结果具有“被禁止的精确性”，就不得不认为这个理论被证伪。
我认为这个观点是错误的。大家承认，heisenberg公式（△x·△px≥h/4π）等等）确实是从这个理论引出的逻辑结论；但是按照heisenberg的意思把这些公式解释为限制可达到的测量精确性的规则则不是从这个理论得出的必然结论。所以比按照heisenberg所允许的更为精确的测量逻辑上不可能与量子论或波动力学发生矛盾。因此我要在公式（“heisenberg公式”的简称）与把它们解释——也由heisenberg提出的——为测不准关系（即对可达到的测量精确性加以限制的陈述）之间加以明确的区分。
当人们在从事heisenberg公式的数学推演时，不得不使用波方程式或某个等价的假定，即能作统计学解释的假定（正如我们在前节看到的那样）。但是如果这个解释得到采纳，那么用波包描述单个粒子无疑不过是一个形式上单称的概率陈述（参阅第71节）。我们已知，波幅决定在一定地点发现这粒子的概率；并且正是这种概率陈述——涉及单个粒子（或事件）的这种陈述——我已称之为“形式上单称的”。如果人们接受量子论的统计学解释，那么人们就必然要把例如heisenberg公式那样一些陈述（它们能从这个理论的形式上单称的概率陈述中推导出来）反过来解释为概率陈述，并且如果它们应用于单个粒子的话，又要解释为形式上单称的。所以它们也必然最终解释为统计学断言。
与“我们对粒子位置的测量越精确，我们对它的动量所能知道的越少”这种主观解释相反，我建议，应该把对测不准关系的客观解释和统计学解释作为基本的解释来接受；可表述如下。给定一个粒子的聚合体（在物理分离的意义上），选择一些粒子，它们在一定瞬间，以一定程度的精确性，具有一定的位置x，我们就会发现，它们的动量px将展示出随机离散（randomscattering）；并且因而离散的域△px越大，我们得到的△x，即允许位置所具有的离散范围或不精确性越小，反之亦然；如果我们选择或分离出那些粒子，它们的动量px全落在预定的范围△px内，那么我们将发现，它们的位置在某一范围△x内随机离散，△x越大，则我们得到的△px即允许动量所具有的离散范围或不精确性就越小。最后如果我们试图选择那些粒子既有性质△x又有△px，那么我们就能在物理学上进行这种选择——即在物理学上分离析这些粒子——仅当这两个域都足够大以满足方程式△x·△px≥h/4π时，对heisenberg公式的这种客观解释把这些公式看作为断言在某些离散域之间有某种关系；如果它们用这种方式解释，我将称它们为“统计学离散关系。”
在我的统计学解释中，我迄今尚未提及测量；我仅提及物理选择。现在有必要澄清这两种概念之间的关系。
我谈到物理选择或物理离析，就是指例如我们从粒子流中筛去除了通过狭孔△x，即通过粒子的位置在△x域的一切粒子。并且在谈到属于如此被分离出的那粒子束的粒子时，我要说它们已根据它们的性质△x，被物理上或技术上选择了出来。惟有这种过程或它的结果，物理上或技术上被分离的粒子束，我才把它们描述为“物理选择”——与只是“精神的”或“想象的”选择加以区别，当我谈到已通过或将通过△p域的一切其他粒子类，即谈到一个更广泛的粒子类（它已经在物理上从这一更广
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