膜藏于其中平方开之得弦乃以矢自乘以矢与弦相乘合二数而半之则得积矣此又积矢径弦四者相乘除循环无穷之妙也其径背求矢法则以半背自乘为实而约矢以减径以矢乘之为半弦幂而平方开之以减背其减余之数恰与矢之背弦差数相当则矢数见矣盖半背数中藏一半弦数藏一背弦差数故合二数而消息之也径十寸矢一寸半背三寸一分十寸之径每一寸矢该差二分二寸矢该差四分为定差今约矢一寸以减径得九寸以矢乘亦得九寸平方开之得三寸为半弦以除半背而余一分恰勾一寸差数则矢之为一寸也无疑矣又如径十寸半背四寸四分约得矢二寸以减径余八寸以矢乘得十六寸为弦幂平方开之为四寸以减半背四寸而余四分恰得二寸矢之定差则矢之为二寸也无疑矣又法半背幂自乘为实中藏一个半弦自乘之数一个背弦差与两半背而空出一差相乘之数亦名背弦差与背相开方之数以此两数与实相消而矢数见矣假令径十寸半背三寸一分其半背幂该九寸六分一厘约矢一寸与径相减相乘如前法得九寸以除实九寸而以一寸之差一分与两半背而空出一差之数得六寸一分与上差一分相乘得六分一厘并二数九寸六分一厘除实恰尽以是知矢之为一寸也又如半背四寸四分自乘得十九寸三分六厘为实约矢二寸与径相减相乘如前法得十六寸以除十六寸而以二寸之差四分与两半背而空出一差之数得八寸四分与上差四分相乘得三寸三分六厘并二数十九寸三分六厘除实恰尽以是知矢之为二寸也此其法亦始于先得定差而约矢与径两相消息以得矢朼其径数有长短差数有多寡亦凖此法而通之也在先得定差而已又法半径自乘为径幂半背目乘为背幂二幂相乘为实乃约矢以减径以矢乘之为半弦幂与径幂相乘以除实又以径幂除其余实恰得矢数之定差则矢可得矣盖二幂相乘中藏一个径幂与弦幂相乘之数藏一个径幂与半背弦差幂相乘之数而背弦差者矢之所藏也假令径十寸矢二寸背差八分半径自乘得二十五寸半背自乘得十九寸三分六厘相乘得四百八十四寸为实及约矢得二寸以减径而乘之得十六寸为弦幂与径幂相乘得四百以除实余八十四寸又以径幂除之得三寸三分六厘恰与二寸矢之定差相合然二寸矢之定差四分而乃有三寸三分六厘者盖始求背幂之时以两背数相乘则四分寓其间恰得此数所谓差与背相开方之数也以四分与八寸四分相乘得三寸三分六厘故定差四分而其积则三寸三分六厘也以八寸四分除之则定差本数也夫背弦差者矢之所藏也以差立法古未有之而实求矢之大机也差径求矢以差与径相乘平方开之得矢差矢求径矢自乘以差为从平方开之得径而差与弦亦可以求矢径半弦之幂矢除径而矢乘径之数也差者矢幂而径除之之数也先约径矢数与弦幂相同而又以径除矢幂与差数同则得矢径差与背求矢径减差则得弦即差弦求矢径也积者矢与弦并以矢除而半之之数也积弦求矢倍积为实约矢而加之于弦为从方以矢为法除之则得矢也矢积求弦矢自乘而置虚积与元积相当然后减去矢自乘之幂而以矢除其虚积与元积之并则得弦也假令矢一寸积三寸五分矢自乘得寸添积二寸五分乃与元积相当然后减去矢自乘之寸余六寸以矢除之得弦六寸也矢二寸积十寸矢自乘得四寸加虚积六寸与元积相当减去矢自乘之寸余十六寸以矢除之得弦八寸也如不以矢径求弦得积而遂以矢径求积则矢每寸截径寸二分五厘而以矢自乘再乘以乘截余之径为径积然后以径约积而以积与矢自乘之数相乘添入径积合为积幂而复以约积自乘亦与前积幂同数则积亦可得矣然不如得弦而后得积之为简捷也至于残周与弦求矢则亦用半弦自乘为实而约出矢数以除半弦幂而加矢为径乃以径补出全周之数而以半背数除半弦数余为半背弦差恰得矢之定差则矢可得矣假令弦六寸残周二十三寸八分则以半弦自乘得九为实而约出矢一寸以于实而加之得十寸为径该周三十寸除残周数得半背三寸一分除半弦三寸而余一分恰得一寸矢之定差则矢一寸也又如弦八寸残周二十一寸二分半弦自乘得十六为实约出矢二寸以除实而加之得十寸为径该周三十寸除残周数得半背四寸四分除半弦四寸而余四分恰得二寸矢之定差则矢二寸也数虽如是而起算极周折惟求之弦矢径三相权则其数可凖盖径矢求弦则以矢减径以矢乘之为半弦幂径弦求矢则以半弦自乘为实而以径为益方以矢减益方而相乘除实亦是以矢减径以□□之而得半弦幂也弦矢求径则以半弦自乘以□除之加矢而得径由是三者辗转求之则是半弦幂中藏却以矢减径以矢乘之之定数以是约出矢径而因径以为周减其残周而得背以半背与半弦相较而得差恰与矢之定差相同则矢数无所失矣其有不合则更约之此数虽若眇茫然凖之于以矢减径即以矢乘必湏与半弦幂相当则亦未尝无绳墨也此意玄之又玄非至神莫知也积也矢也径也弦也背也残周也差也凡七者转相为法而转相求共得三百二十六法而后尽浑然一圆圈而中含错综变化乃至于此呜呼岂非所谓至妙至妙者哉?
○分法论?
差分方程盈朒粟米总是一分法也物有多寡价有贵贱两物相形已知物之孰贵孰贱各有定价矣若使两物总共若干两价亦总共若干则两物混杂虽则两物混杂而总价固相差也于是以价权物则因价之贵贱而差之也未知两物之孰贵孰贱而但知两物相参伍之总价若使此三而彼五则价共增若干此五而彼三则价共减若干则两价混杂而物数固相形也于是以物权价则因物之参伍而推出价之贵贱谓之方程方程者言物价相检括有定式□不可乱也差分方程之所不能尽于是有盈朒盈者有余朒者不足盈朒者因其外露畸零可见之数而推知其中藏隐杂不可见之数以据末颖而窥全锥也假令物共若干两价共若干两两物混杂而法有不尽于差分也于是而盈朒之假令总是贵物则原捴价不足若干总是贱物则原总价有余若干于是推乘以齐其数以不足之数乘贱物以有余之数乘贵物两物各得其所乘之数以为实而并有余不足之数以为法而各归之则物之多寡可得矣此分之盈朒也未知两物之孰贵孰贱而但知此三而彼五则价共增若干此五而彼三则价共减若干两价混杂而法有不尽于方程也于是而盈朒之假令此贱若干彼贵若干则原总价有余几何此贵若干彼贱若干则原总价不足几何于是维乘以齐其数以有余乘此贵彼贱亦以不足乘彼贵此贱令两贱自相减两贵自相减为实有余不足亦自相减为法则价之贵贱可得矣此方程之盈朒也差分以价权物方程以物权价差分露价而混物方程露物而混价露价而混物故以价相辖露物而混价故以物相参而盈朒通乎其间矣至于物有以多而易寡价有以贵而易贱于是有粟米则乘除互换之间而多遂与寡相当贱遂与贵相当而其数齐矣以粟易米则以粟率乘以米率除以米易粟则以米率乘以粟率除以贵物易贱物则以贵率乘以贱率除以贱物易贵物则以贱率乘以贵率除以贱物易皆以本率乘以所易之率除谓之粟米者因粟米以名诸物也?
○六分论?
数欲以繁而从简而数之有分者不可以常法约也于是有约分之法则以子减母以母减子至于等而后止等数者母子之数所共止齐也必相减而后得之所谓减损求原也然后以等约母以等约子而繁者简矣数有以少而合多以聚其零散亦有以少而减多以较其多寡而数之有分者不可以常法合而减也于是有合分课分之法分母不同分子亦异于是母互乘子以齐其数假令二分之一与三分之一相乘二分之母数本少也与子之二数相乘而为四则虽少而多三分之母数本多也与子之数相乘而为三则虽多而少天互乘而褒多益寡之义着矣诸分皆母互乘子而合分则相并以为实所以为合也课分则相减以为实所以为减也其实有相乘相减之异而其法则皆以母相乘盖其始皆母互乘子以为实则其母亦互相乘以为法也合分观其所总而聚散着矣减分观其所余而多寡着矣数有多寡损益以取平而数之有分者不可以常数平也于是有平分之法亦母互乘子而副置之其一相并以为平实其不相并而据诸分之位数凡几谓之列数名以列数乘其不相并之分子以为列元是三位相并则以三为列数原是四位相并则亦以四为列数以三数乘不相并则亦与三数相并相当矣以四数乘不相并则亦与四数相并相当矣但相并则诸分总得其相乘之数不相并则诸分各得其相乘之数耳以各较总而有余不足见矣故平实者总也列实者各也非总无以凖各非各无以自凖有总有各而有余不足见矣列实有余者以平实凖之而得其减数列实不足者以平实凖之而得其益数减有余之列实益不足之列实皆齐于平实而后止是若齐于总也于是以诸母相乘犹之母互乘子也亦以列数乘诸母之相乘者犹之列数乘诸分子也则分母恰与分子相当以为法以命平实而诸分平矣乘分者乘法之有分者也除分者除法之有分者也其乘分除分皆用通分法假如有银十两三分两之二则无分之全数与有分之零数相碍而不相通于是以分母三乘全两其十两得三十分带分子二共三十二分所谓分母乘其全分子从之也通分则全数与零数均为一法而不相碍通分之后乘分则以各通分相乘为实分母相乘为法除分则以实分母乘法以法分母乘实而法与实之数始相当而无偏亦所谓变而通也筭经曰学者不患乘除之为难而患分法之为难然必精于无分之乘除而后能通于有分之乘除非二致也法有浅深而已矣?
天地之间聚散分合而巳天气下降地气上腾而天地合天气上腾地气下降而天地判合则气发泄于其外判则气凝结于其中其分所以为合也兵之用聚散分合而巳矣分不分谓之縻军聚不聚谓之孤旅然聚易而分难其分所以为聚也韩信多多益辨兵家以为分数明也数之用聚散分合而已矣聚小以为大谓之乘散大以为小谓之除聚小以为大则无畸零不尽之数散大以为小则多有畸零不尽之数矣是以乘法省而除法繁乘法易而除法难也可知矣?
重刊荆川先生文集卷之十七?
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