为母】复以底勾半梯底乘之得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合问
或问甲从干隅东行三百二十步而立乙出城东行丙出城南行三人相望俱与城相直乙丙共行了一百五十一步问答同前
法曰以甲东行为幂折半又以自之为三乘方实倍共步加甲东行以乗半段甲行幂为从方甲行乗共数为从亷甲东行加五为第二益亷二分五厘常法得小差
草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一为小差以自之副置二位上位减于甲东行幂以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行幂以天元除之又折半得□○□为大也其甲东行即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天元以减甲东行步得□□即圆径也以圆径加共行步得□□即皇极和也【即小和又为髙平共数】又倍之得□□即黄长黄广共也内减大得下式□□□为皇极内小黄方也【亦为虚】再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以为城径内寄小和为母【寄左】然后天元减甲东行得□□为大黄方以小和乘之得丨□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得八十步即小差也以小差减甲东行余二百四十步即城径也合问
或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从干隅东行三百二十步望乙丙悉与城防相直乙就丙斜行一百二步相防问答同前
法曰甲东行自之于上倍斜行步乘之为立方实倍斜行步乘甲东行于上加两段甲东行幂为从四之甲东行为益亷四为隅法得半城径
草曰别得斜步即虚减于全径即小和也乃立天元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差也以自之得□□□为小差幂也置甲东行幂内加小差幂而半之得下□□□为大【内带小差分母】置甲东行幂内减小差幂而半之得□□为大股也内亦带小差为母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□□为大和也【带小差母】乃先以小乗大和得下□□□寄左次以斜步减于二天元得□□为小和以乗大得下式□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问
依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立【只云丙行多于乙行步】甲从干隅东行三百二十步望乙丙与城防相直其乙丙共行一百二步问答同前法曰倍共步以乗甲东行幂为立方实共步乗甲东行于上又以甲东行自之加上位为益从甲东行为从亷五分隅常法得城径
草曰别得共步便为小得小勾小股即与圆径同立天元为城径以减乙东行得□□为小差以自之得□□□为小差幂也乃置甲东行以自之为幂副之上以加小差幂而半之得□□□为大也【内寄小差分母】下以减小差幂而半之得□□○为大股也【内寄小差分母】乃置共步在地以大股乘之得□□合大除不除便以此为小股也【寄大分母】又置共步以甲东行乘之得□合以大除不除便以此为小勾而又以元分母小差乘之得□□为同分小勾【只寄大分母】注【其大内元带小差分母其大勾内却无分母故母故今复以小差通之齐同其分母也】又置共步以大通之得□□□同分小也三位相并得□□为城径也【内有大分母】寄左然后置天元城径□以大分母通之得□□□○为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
测圆海镜卷六
<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜>
钦定四库全书
测圆海镜卷七
元 李冶 撰
明□前一十八问
或问出南门东行七十二步有树出东门南行三十步见之问答同前
法曰倍南行以乘倍东行为平实并二行又倍之为从一虚隅得城径
草曰识别得此问名为外容圆又为内率求虚积其二行步相并为虚若以相减即虚较也又倍东行为较和倍南行即较较此二数相乘则两虚积也若直以二行相乘则半个虚积也又倍东行减于城径余即二虚勾也倍南行减于城径则二虚股也虚积上三事和即城径也乃立天元一为圆径便以为三事和也倍二行步减之得□□为黄方一天元乘之得□□为二虚积【寄左】然后倍东行以乗倍南行得八千六百四十为同数与左相消得丨□□益积开平方得二百四十步即城径也合问
又法二行步相乘为实二行步相并为从一步虚法得半径
草曰立天元一为半径副置二位上加东行步得□□为大差勾下加□股得□□为小差股此二数相乘得下式丨□□为半段黄方幂【寄左】然后立天元以自之又二之与左相消得丨□□益积开平方得一百二十步即半城径也
又法二云数相乘倍之于上加云数差幂权寄并二云数又自增乗得数内减上位为平实并云数而倍之为从二步益隅得半径
草曰立天元一为半径副之上减明勾得下□□为虚勾下减□股得□□为虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差幂□得□□□为幂【寄左】然后并云步以自之得□为同数与左相消得□□□益积开平方得一百二十步即半城径也
又法云数相乘又倍之为平实云数相减为从一常法得虚勾
草曰立天元一为虚勾以南行减东行余四十二步为虚较也以虚较加天元得丨□为虚股以天元乘之得下丨□为直积【寄左】然后倍南行乘东行得□与左相消得丨□□开平方得四十八步即虚勾也以勾除
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