测圆海镜 - 测圆海镜

方得一百二十步即半城径也合问

或问甲出东门直行丙出南门直行各不知步数而立乙望见甲就甲斜行了二百八十九步与甲相防其二直行共一百五十一步问答同前

法曰斜幂内减共步幂为平实倍共步内减斜步为从一常法得径

草曰别得共数城径并即皇极和也立天元一为圆径加共步得□□为皇极和以自之得丨□□于上以斜行幂□减上位余丨□□为二直积【寄左】然后以天元乘斜步得□□与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问甲出东门直行乙出东门南行丙出南门直行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望悉与城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步问答同前

法曰共步距步相减得数自之于上以共步为幂内减上为平实二之距步内减共步距步差为从一步虚法得城径

草曰别得共步得城径即皇极和也相距步即虚也皇极和内减虚即皇极也又共步距步差□即皇极内减城径也【此名旁差】乃立天元一为城径加共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上以共步距步差□加天元得□□为皇极也以自之得下式丨□□减上位余得□□为二直积【寄左】然后以天元径乘皇极得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复就甲斜行与甲相防乙通计行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲东行多于乙南行问答同前

法曰倍不及步在地以不及步减通步以乗之为实以四之不及步为法得乙南行三十步

草曰别得乙南行即□股也以减通步即虚也以减不及步即虚较也其不及步即甲东行也立天元一为乙南行置不及步以天元乘之又四之得□为二直积【寄左】然后倍不及步以为较和于上□以不及步减通步得□为较较以乗上位得□为同数与左相消得□□上法下实得三十步为乙南行也余各以数求之

又法别得通行步为两个乙南行一个甲东行共也其不及步即东行步也云步相并即两个虚相减即两个乙南行也

或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复斜行与甲相防二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二【按甲不及乙六十步非一百三十二步当云甲行不及共步方合】问答同前

法曰别得二行共即两个虚也其不及步即乙南行与一虚共也置不及步内减一余三十步即乙南行也以乙南行反以减虚余七十二步即甲东行也以乙南行减甲东行余即虚较也　此问无草

按右二问语若浅近然以发明加减乘除相通之

义最为深切集中仿此者可类推之

或问乙出东门南行甲出西门南行甲望见乙斜行五百一十步相防乙云我南行少于城径二百一十步问答同前

法曰少步幂为平实四斜步内减二少步为益从五步常法得乙南行

草曰别得少步为径内减叀股立天元一为乙南行以二之减于倍斜行步得□□为梯底也以二之天元乘之得□□为径幂【寄左】再置天元加少步得下式□□为城径以自之得丨□□与左相消得□□□开平方得三十步即乙南行也加少步即城径也合问

或问乙出南门东行甲出北门东行甲望见乙斜行二百七十二步与乙相防乙云我东行不及城径一百六十八步问答同前

法曰以不及步幂之为实四斜内减二之不及步为虚从五常法平实开得乙东行七十二

草曰别得不及步为城径减明勾也立天元一为乙东行以倍之减于二之斜行步得下□□为梯底也倍天元乘之得□□为径幂【寄左】再置天元加不及步得□□为城径以自之得丨□□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即乙东行也加入少步即城径也合问

或问乙出南门东行丁出东门南行却有甲丙二人共在西北隅甲向东行丙向南行四人遥相望见俱与城叅相直既而相防甲云我多乙二百四十八步丙云我多于丁五百七十步问答同前

法曰二多步相乗为平实并二多步而半之为从七分半常法得城径

草曰别得甲多步为大勾内减明勾也丙多步为大股内少叀股也又乙东行得一虚勾为半径丁南行得一虚股为半径又二多数相并得□为大和内少虚也又二多数相减余□为两个角差又甲多步内减半径即勾方差也丙多步内减半径即股方差也立天元一为城径以半之减于甲多步得□□为勾方差又以半径减于丙多步得□□为股方差二差相乘得□□□为径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行丙向南行又乙出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人遥相望见悉与城叅相直既而相防甲云我与乙共行了三百九十二步丙云我与丁共行六百三十步问答同前

法曰甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂二幂又相乘为三乘方实甲乙共自之为幂以丙丁共乘之于上又以丙丁共自之为幂以甲乙共乘之加上位为益从甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂并以七分半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得数减上位为第一益亷并二共数以七分半乘之为第二亷以七分半自之得五分六厘二毫五丝于上位以一步内减上位余四分三厘七毫五丝为虚隅得城径草曰别得甲为大勾乙为明勾丙为大股丁为叀股也甲乙共内减半径即是黄长也丙丁共内减半径即黄广也黄长黄广二数相减余为两个皇极差也乃立天元为城径半之副置二位上以减于甲乙共数得□□即黄长也以自之得□□□为黄长幂也内减天元一幂余得下式□□□为勾方差幂也下位以减于丙丁共得下式□□即黄广也以自之得□□□为黄广幂也内减天元一幂余得□□□为殷方差幂也再以勾方差幂股方差幂相乘得□□□□□为径幂【寄左】然后以天元为幂又以幂自之与左相消得下式□□□□□开三乘方得二百四十步即城径也合问

测圆海镜卷七

钦定四库全书

测圆海镜卷八

元　李冶　撰

明叀后一十六问

或问出南门向东有槐树一株出东门向南有柳树一株丙丁俱出南门丙直行丁往至槐树下甲乙俱出东门甲直行乙往至柳树下四人遥相望见各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立处相距二百八十九步问答同前

法曰以二共相减数又以减距数为实二为法得平勾

草曰识别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即极也二共相并即极内少个虚黄也又为极和内少个虚和也二共相减余为平勾髙股差也又为虚差极差共也又为通差内减极差也立天元为平勾加入二共相减数得□□为髙又加天元得□□为极【寄左】以相距步二百八十九与左相消得□□上法下实如法得六十四即平勾也以二共相减数加平匀得二百二十五为髙股复以平勾乘之得一万四千四百步开平方得一百二十步即城半径也合问

又法二共数并以减相距数余者半为泛率以泛率加丙丁共为长以泛率加甲乙共为阔长阔相乘为平方实得半径

草曰置极内减二共并数余三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步为髙股也下以加叀和得六十四步为平勾也二位相乘得一万四千四百步开平方得一百二十步即半径也合问

或问依前见丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二树相去一百二步问答同前

法曰以甲乙共乘树相去步得数又以自之为平实从空并二共数为幂于上内减甲乙共自之数丙丁共自之数【按或云二共数相乘倍之亦同】为益隅得叀

草曰识别得两树相去步即虚也余数具前立天元一为叀置明和以天元乘之合叀和除不除便以□为明也【内带□和分母】乃置虚以分母叀和乘之得□加入明得□□为极股也内带叀和分母以自之得下式□□□为极股幂【内寄叀和羃为分母】又以天元加虚得□□为极勾以自之得丨□□又以叀和幂□乘之得□□□为勾幂也勾股相并得□□□为两积一较幂也内有叀和幂分母【寄左】然后置明□于上以叀和乘天元得□加上位得□为二并又置虚以叀和乘之得□并入上位得下式□□为极以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十四步即叀也

又法以树相去步自之又以甲乙共乘之为平实从空倍丙丁共为虚隅得叀

草曰立天元一为叀依前术求得明□便以为皇极勾差也【内带叀和分母】以天元□便为皇极股差以乘之又倍之得□□为虚幂【内有叀和分母寄左】然后以虚自之又以分母□乘之得四十七万八千五百八十四为同数与左相消得□○□开平方得三十四步即叀也合问

或问皇极大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步问答同前

法曰后数自乘为实前后数相减余为法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二共也其六十六即太虚大小差共也又二数相并得□即明叀二和共若以相减余□即明叀四差共也立天元一为太虚黄方面加二黄共得□□即虚也倍虚又加天元得□□即城径也又以虚加皇极大小差得□□即极也以极乘城径得□□□为两段皇极勾股积【寄左】再以极虚相并得□□即皇极勾股共也自之得□□□内减皇极幂丨□□得□□□为同数与寄左相消得□□上法下实如法得三十六步即太虚黄方靣也合问

或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出东门直行甲丙槐柳悉与城防相直既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下问答同前

法曰云数相乘倍之便为平方实开方得虚一百二步以此加甲行步即极勾以此加丙行步即极股余各依法求之　识别甲斜行即叀也丙斜行即明也　无草

或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐栁与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云丙共行了二百八十八步甲斜行与柳至东门步共得六十四步问答同前

法曰二云数相乘于上以六十四步自之又二之减上位为平实十四之六十四于上倍丙行减上位为从【按倍丙行乃数偶合当云九个半六十四内减丙行为从】二十常法得甲直行步

草曰别得丙共步即明股明和也六十四即平勾也内甲斜行即叀也柳至东门步即叀股也又云二数相并即明差与极共也二云数相减即明差与平勾髙股差共也又平勾内减叀勾即虚勾也立天元一为叀勾置丙共步以天元乘之复以六十四除之得□□呔为明勾也又以天元减于六十四得□□为虚勾也并虚明二勾□□为半径也以自之得□□□□倍之得□□□□为半段圆城径幂【寄左】乃以天元加六十四得□□为勾圆差于上又以明勾加丙共步得□□□为股圆差于下上下相乘得□□□□为同数与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出东门直行步也余皆依数求　合问

或问东门南有柳树一株南门东有槐树一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云甲共行五十步丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步问答同前

法曰以二百二十五步自之为幂又以此幂自为幂于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得数复折半减上位为平实置二百二十五步自之数以二云数相减数乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之数乘之复折半加上位为益从云数相减自乘于上以云数相乘复折半减上位为常法得明股

草曰识别得甲共步即叀勾叀共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明槐至南门步即明勾也又二云数相并即极内减一个叀差也云数相减即叀差与髙股平勾差共也又髙股内减明股即虚股也立天元一为明股即丙出南门直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□为叀股也内带髙股□分母再置髙股内减天元得□□为虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半径也以自增乘得下□□□为半径幂也内带髙股幂为母【寄左】然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□为勾圆差于上【内带髙股分母】又以天元加髙股得□□为股圆差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□复折半得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百三十五步即明股也合问

或问通勾通共一千步叀勾叀共五十步问答同前

法曰置一千减二之五十步为泛率以自乘复半之于上又置泛率复以五十乘之加上位为平实二十二之泛率于上【按二十二乃此题叀和除通和所得通倍叀数加二数之数易题则数不同矣当直云通倍叀数加二数乘

【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】