乘泛率】以四十二【按四十二乃此题倍通倍叀数加二数之数当直云倍通倍叀数加二数】乘五十得数内减泛率加上位为益从二百【按二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半于上又倍通倍叀数并二数以减上位之数当同上不必载数】为常法得叀股
草曰立天元一为叀股置一千以天元乘之以五十除之得□为通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通也以通减一千得□□即通勾也以小差减通勾得□□即圆径也以圆径减通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然后置圆径以自之得□□□折半得□□□与左相消得□□□开平方得三十步即叀股也合问
按此题通勾和为叀勾和度尽之数则不用寄分而用除法以从省便作者盖举一以例其余也
或问通勾通共一千步明勾明共二百二十五步问答同前
法曰以后数再自乘又以前数乘之为平实以后数为幂又以前数乘之为从以前数幂为常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一为明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□为通股【内带髙股为母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即带分大差也以此减于通股余□□即圆径也以自增乘得□□□寄左【内髙股幂分母】然后置一千以髙股分母通之得□内减带分大差得□□为两个通勾也内减两个圆径得□□为两个小差也以带分大差乘之得下式□□□为同数与左相消得□□开平方得一百三十五步即明股也合问
或问通股通共一千二百八十步叀股叀共六十四步问答同前
法曰云数相乘为平实前数为益从置前数以后数除之得二十为泛率泛率减一以自乘于上又倍泛率减一加上位为常法倒积开得叀勾
草曰别得六十四步即平勾也立天元一为叀勾置前数以天元乘之以后数除之得□即通勾也又置天元加后数得□□即小差也以小差减通勾余□□即圆径也以自之得□□□【寄左】然后以小差减于前数得□□为二通股内减两个圆径得□□为二大差也以小差乘之得下□□□与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也合问
或问通股通共一千二百八十步明股明共二百八十八步问答同前
法曰二数相减以后数乘之内减后数幂又半之为泛率以自乘为平实【按或云前数内减二后数余以后数乘之折半自之亦同】置前数加二之后数而半之为次率以乘泛率于上以后数乘泛率减上位【按或云二数相加以乘前折半数亦同】为益从次率自乘之于上以前数加次率复以后数乘之减上位【按或云前数折半内减后数又以半前数乘之亦同】为隅法得明勾
草曰别得二数相减余□为通勾通股及明勾共也立天元一为明勾置前数以天元乘之合以后数除之不除便以此□为通勾也【内寄后数分母】又以二数相减得数内又减天元得□□为通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内减通勾余□□为通股也又以天元加后数又以分母【即后数也】通之得□□为大差也以此大差减于通股得下式□□为一个圆径也半之得□□以自得之□□□为半径幂【寄左】然后以半圆径减通勾得□□为底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明勾也合问
或问明股明并二百八十八步叀勾叀并五十步又云明股叀勾并多于虚四十九步问答同前法曰前二数相并内减二之多步即圆径又只以前二数相乘便是半径幂
草曰识别得前二数相减而半之即极差也其多步名傍差又圆径不及极数
或问平差髙差共一百六十一步明股叀勾并多于虚四十九步问答同前
法曰二数相减又半之以自乘为实后数为法得平勾
草曰立天元一为平勾以加前数得□□为髙股也又以天元加髙股得□□为极内减后数得□□又半之得□□为半径以自之得丨□□【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得□□上法下实得六十四步即平勾也合问
或问平勾髙股差一百六十一步明差叀差并七十七步又云极多于城径四十九步问答同前
法曰并上二位而半之为平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下减旁率以相乘为实倍旁差为法得勾圆差【按求实数有误当云并上二位而半之内减后数于上又置上前数内减后数以乘上位为实方合】
草曰识别得平勾髙股差名为角差副置角差上加七十七而半之得□即极差也下减七十七而半之得□即虚差也角差加极差得□即通差也又极多于城径步名为旁差副置角差上加旁差得□为两个髙段上勾股较下减傍差得□为两个平段上勾股较也又副置极差上加傍差得□为股圆差上勾股较下减旁差□为勾圆差上勾股较也立天元一为勾圆差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□为半段圆径幂【寄左】乃置大差□□内减股圆差上勾股较□余有□□为股圆差之勾于上再置天元内加勾圆差上勾股较□得□□为勾圆差之股以乘上位得丨□□为同数与左相消得□□上法下实得八十歩即勾圆差也
又依前问见角差一百六十一步见明差叀差并七十七步又见太虚较较六十步问答同前
法曰前二数相减而半之得数加入半之太虚较较为泛率以自乘为平实置一百六十一内减二之泛率为从一常法得平勾
草曰别得□即二叀股也立天元一为平勾先以前二数相减而半之得□为虚差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□为平以自之得丨□□内减天元幂得□□为半径幂【寄左】然后以天元加一百六十一为髙股以天元乘之得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得六十四步即平勾也
又法曰前数内加半之太虚较较以自乘【按此语内有误当云倍角差加半太虚较以半太虚较乘之】为实前数内减太虚较较为从一常法开平方得平勾此更不用明差叀差并也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□为髙也以自之得丨□□于上位内减髙股幂丨□□余得□□为半径幂【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得下丨□□开平方得六十四步即平勾也合问
或问髙差平差并一百六十一步明差叀差并七十七步问答同前
法曰以前数自乘于上二数相并而半之以自乘减上位得数复自增乘为平实前数自之于上又以四之前数乘之寄位以前数自之于上并二数而半之以自乘减上位得数又以四之前数乘之【按此下落又倍之三字】减于寄位为从前数自之又四之于上又以四之前数为幂加上位权寄以前数为幂于上并二数而半之以自乘减上位得数复八之加上位又以四之前数为幂加入上位并以减于权寄为常法【按或云二和并而自之又半之以减髙平共差幂又四之为常法亦同】得平勾
草曰识别得二位相并而半之得□即极差也立天元一为平勾加一百六十一得□□为髙股髙股内又加天元得□□为极以自之得□□□于上内减极差幂一万四千一百六十一余□□□为两段极积合以极除不除寄为母便以此为城径以自增乘得□□□□□为圆径幂【内有极幂分母寄左】然后以天元乘髙股又四之得□□又以分母极幂□□□通之得□□□□呔为同数与左相消得□□□开平方得六十四步即平勾也合问
或问见明和二百七步叀和四十六步问答同前法曰二和上下相减数同则止名为泛率又以二和直相减余为泛实【此则角差也】乃以泛率除泛实所得为差率也以差率加减泛率若半讫与勾股相应者其泛率便为和率其泛实便为较率乘和率也若不相应则直取差率以消息之定为相管和率【其勾股数少得见黄而相为率者勾三股四则其和七而其较一也勾五股十二则其和一十七而其较七也勾八股十五则其和二十三而其较亦得七七勾七股二十四则其和三十一而其较一十七也勾九股二十则其和二十九而其较一十一也此消息之大畧也余皆仿此】乃以和率约二和其明和所得为明垒率其叀和所得为叀垒率也又副置和率上加差率而半之则为股率也下位减差率而半之则为勾率也既见勾股及差三率各以垒率乘之即各得勾股及差之真数也
按此用约分以勾股率数求之甚为省便然必两数度尽而得数最小者方可用若两数不能度尽或虽度尽而得数尚大者转属繁难故又设后法
又法二云数相并以自乘于上二之云数相乘又四之以相并以四分半乘之又四之以并入上位为从方以七十步零四分三厘七毫五丝为常法得叀小差四步
按此法未求实数其求从隅皆用本题数不可通用今依细草意另演一法于后亦惟二和数可以度尽者用之若不能度尽者仍用寄分为便
法曰二和数相减自之为平方实叀和除明和得数自而倍之内减四之除得数再加二单数以乘二和相并之数为从除得数自而四之于上又以除得数自乘内减四之除得数外加一单数自之以减上位为常法得叀小差
草曰以二和相约命得叀率一明率四步半其两数大小差率并同又别得明小差叀大差俱为半虚黄也立天元为叀小差以四歩半乘之得□元为□大差也又为明小差又为半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□为明大差也其四差相并得□减于二和并得□□即两段太虚大小差并也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圆城径也以自增乘得□□□为径幂【寄左】乃置叀和加半虚黄得□□为平勾又置明和内加半虚黄得□□为髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得四步即叀小差也合问
或问明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步问答同前
法曰先识别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘为实以四差共为法如法得半之虚黄方
草曰先置前后云数以约法约之得一十一即垒率也复各置前后数如垒率而一前得八即勾率也后得一十五即股率也再以勾股率求得较率七和率二十三率一十七黄方率六大差率九小差率二即见诸率各以垒率乘之其二和共得□二较共得□二共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆为明叀所得之共数也乃立天元一为半虚黄便为明小差又为叀大差也以减于大差共得□□即明大差也又以减于小差共得□□即叀小差也以二数相增乘得丨□□【寄左】以天元幂与寄左相消得□□上法下实得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加于二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又为极黄方又为虚也又以三十六减于一百八十七余一百五十一即明股叀勾共也此数内减虚余□为明叀二差较也此名傍差以旁差减二共一百八十七余得□即太虚和也却加入虚一百二并得□为太虚三事和即圆城径也合问
又或以虚黄方加于上和共二百五十三得□为极也以旁差减极余二百四十步亦同
又或前后副置勾股较和黄六率在地前以小差率二因之则勾得□股得□较得□和得□得□黄得□即叀段各数也后以大差率九因之则勾得□股得□较得□和得□得□黄得□即明段各数也既得明叀各数余可知【按此因明即皇极形勾差叀即皇极形股差故以小差率乘各率即得叀段各数以大差率乘各率即得明段各数也】
按右二卷明叀前十八问后十六问在集中尤为神妙惜其中有偶尔思省未至者亦未暇修饰故耳
测圆海镜卷八
<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜>
钦定四库全书
测圆海镜卷九
元 李冶 撰
大斜四问
或问甲丙俱在中心丙望南门直行不知步数而止甲出东门直行不知步数望见丙斜行与丙相防二人共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百一十九步问答同前
法曰二数相减余以为幂内却减差幂为平实二数相减又四之于上又加入二之差步为益从二步常法得皇极勾
草曰别得共步即皇极三事和少步即勾股差也立天元一为皇极勾加少步得□□为股也又以天元加股得□□为和也以和减共步得□□为也自之得□□□为一段幂【寄左】然后置股以天元乘之又倍之得□□为二直积加入少步幂□共得□□□为同数与左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差为股勾股相乘倍之为实勾股和减共步为法得城径
又法云数并与云数差相乘【按此句有误当云和数与倍差相加相减二得数相乘】为平实云数并与二数差相并得数以减于八之共步为益从【按此只云六因和步为益从亦同】一步常法得皇极黄方
草曰立天元一为黄方【即虚也】副置之上位加共步得□□为二和也下位减共步得□□为二也先以二和自乘得丨□□为四段和幂又以二自乘得丨□□为四段幂二数相减余得□又倍之得下
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