测圆海镜 - 测圆海镜

和得□为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚也加入虚和得二百四十步即城径也合问

又法并云数减大和复以二数相减乘之为实并云数减大和得数复加入大和为法得虚差

草曰立天元一为虚较先以并云数减大和余□为虚和于上次以天元减于二就步较□得□□为通差以乘之得□□【寄左】然后以天元乘大和得□为同数与左相消得□□上法下实得四十二步即虚差也副置虚和为二位上加虚差而半之得九十即虚股也下减虚差而半之得四十八即虚勾也勾幂股幂相并得□开平方得一百二步即虚也加入虚和得二百四十步即城径也合问

或问依前见大和只云股圆差上勾差二百一十六勾圆差上股差二十步问答同前

法曰以云数二十步减通和复以二十步乘之于上以云数二百一十六减九百步【按即并二差以减大和】而半之乘上位为立实三因二十步以减通和得八百六十以二百一十六减通和而半之得二百四十二二数相乗讫内减二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以减之为从方【按取从方内语有误当云三因小差减大和并二差减大和半之相乘于上三因大和加大差减三之小差半之以小差乘之得数减上位为从方】以二百一十六减通和又以三之二十步减通和相并于上以二之五百五十八内却减二十步余以减上位为益亷【按取益亷内语亦有误当云三因大和减六之小差为益亷】四步常法得小差股

草曰别得小差上股差□加二股为大勾也大差上勾差□加二勾为大股也立天元一为小差股加□得□□为小差也小差上又加天元得□□为通勾以减于和步得□□为通股也通股内减大差上勾差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾差□得□□为大差也再置通股以小差乘之得□□□以天元除之得□□□为一个大也【泛寄】再置通勾以大差乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以为大【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□为同数与左相消得□□□□益积开立方得一百五十步为小差股也合问

或问依见前大和只云髙平共得三百九十一步髙平相较得一百一十九步问答同前

法曰以较数幂减于共数幂又半之为实以共数减大和为益从一步常法开平方得圆径

草曰别得髙数减于通股为边股内减明股也平减于通勾为边勾内减明勾也其共数即大内减皇极又为皇极勾股共也其相较步即皇极差也二云数相并即黄广也二云数相减余即黄长也以共数减于大和余□为皇极与圆径共立天元一为圆径以减皇极与圆径共得□□为皇极也以共数自之得□于上以相较数自之得□减上位余□又半之得□为两段皇极积【寄左】乃以天元乘皇极得卜□为同数与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问依前见大和只云大差四百八步小差一百七十步问答同前

法曰以并云数减大和复以乘大和又倍之为平实三之通和于上又以并云数减大和加上位为从二步虚法得圆径

草曰大差减和步余□为大勾大差勾共也以小差减大和余□为大股小差股共也云数相并□即大内减虚也云数相减得□为虚平共也【按此二语因数偶合而误见前】以相并数减于大和余□为大差勾小差股共又为圆径虚共也立天元一为圆径减于□得□□为虚也返以减于圆径得□□为小和也以天元减大和得□□为大以乘小和得□□□【寄左】乃再置虚以通和乘之得□□与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问依前见大和只云黄广五百一十步黄长二百七十二步问答同前

法曰云数相并减大和复以相并数乘之为实云数相并减大和得数复以加大和为法得虚

草曰别得黄广又为大差虚共又为边股叀股共也黄长又为小差虚共又为底勾明勾共也以黄广减于大股余即虚股以黄长减于大勾余即虚勾故并数以减于大和余□为虚和也以虚和减径□□即虚也二云数相并得□为大虚共也云数相减余□为虚平共【按此句误同上】立天元一为虚以减于七百八十二得□□为大也以小和乘之得□□【寄左】乃以天元虚乘大和得□呔为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚也合问

或问依前见大和只云边五百四十四步底四百二十五问答同前

法曰云数相减自之为实以大和减并数为法得皇极

草曰别得以边减大股余为半径内减平勾又为平内减勾圆差也以底减于大勾余为髙股内少半径又为股圆差内少髙股也二云数相并得九百六十九为大皇极共也二云数相减□为皇极勾股差也并数内减通和余□为皇极内减圆径也立天元一为皇极以自之于上以一百一十九自之减上位得丨□□为二皇积【寄左】复置天元内减四十九得下式□□为黄方复以天元乘之得丨□与左相消得□□上法下实得二百八十九步即皇极也内减四十九余即城径也合问

按右大和八问每问于大和外复设二数然多有大和外设一数即可求者细考其法草所载皆三数并用婉转求之盖意在发明三数取用之理非不知其可省也

测圆海镜卷九

钦定四库全书

测圆海镜卷十

元　李冶　撰

三事和八问

或问甲乙同立于干隅乙向东行不知步数而立甲向南直行多于乙步望见乙复就东北斜行与乙相防二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步问答同前

法曰共步内减四之小差复以自之于上以十八个小差幂减于上为实四之共步内减十六个小差于上却以十八小差加上为益从四步常法开平方得中差

草曰别得共步为三事和也不及步即小差也立天元一为中差加二之小差得□□为大小差并以加入三事和得□□为三也倍三事得三千二百内去大小差并得□□为三和也内减三余□□为三个黄方以自之得□□□为九段黄方幂【寄左】再置天元中差加小差得□□为大差以小差□乘之得□□为半个黄方幂就一十八之得□□为同数与左相消得□□□开平方得二百八十步即中差也其余各依法求之合问

或问以前三事和又云大差三百六十步问答同前法曰倍云数以云数乘之又九之于上倍云数加三事和为前数倍云数减二之三事和为后数二数又相减余一百六十为泛率以自乘减上位为平实十八之云数内又加四之泛率为从四常法得中差草曰立天元一为中差置云步倍之内减天元得□□为大小差共数加于三事和得□□为三也倍三事内减大小差共数得下式□□为三和也内减三得□□为三个黄方靣也以自之得□【□□】□为九段黄方幂【寄左】再以天元减大差得下式□□为小差又倍之得□□以云数乘之得下式□□又就分九之得下式□□与左相消得下式□□□开平方得二百八十步即中差也合问

或问依前见三事和又云中差二百八十步问答同前法曰和步加差步以自乘于上又和步内减差步以自乘加上位为平实四之和步为从二步益隅得大

草曰立天元一为大减共步得□□为和副置之上位减差步得□□为二勾以自之得丨□□为四段勾幂也下位加差步得□□为二股以自之得丨□□为四段股幂也二位相并得□□□为四段幂【寄左】然后以天元自之又四之得□□为同数与左相消得□□□开平方得六百八十步即大也倍之以减于三事和余即城径也合问

或问依前见三事和又云小差大差并四百四十步问答同前

法曰并前后二数三而一为反以减共步得数又以减得城径

草曰二数相并得□三而一得□即也以减三事和得□即和也和又相减余二百四十步即城径也合问

或问依前见三事和又云小差中差大差共七百二十问答同前

法曰半云数自之又三之于上以三事减上位为平实【按以三事减上位有误此系偶合三事之数耳当云加半段三事幂又倍三事和加大差复以大差乘之减上位为平实】倍三事于上半云数而五之加上位为益从二常法得小差

草曰别得三差共为二大差也立天元一为小差并大差加入三事和得□□为三也以自之得丨□□为十八积九较幂【寄起】又以共三事步自之得□方于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□□为十二积四较幂又加五【按即三因二归】得□□为十八个直积六个较幂以减寄起余得丨□□为三个较幂【寄左】然后以天元小差减大差得□□为中差以自之得丨□□又三之得下式川□□为同数与寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也余各依数求之合问

或问依前见三事和又云明黄方叀黄方共六十六问答同前

法曰二事内加二之共步复以二之共步乘之于上位三事内减二之共步复以二之共步乘之得数减上位为平实三事内加二之共步又倍之于上又三【按三当作六】之共步加上位为泛寄三事内减二之共步又四之于上又三【按三亦当作六】之共步减上位得数以减泛寄为从作十八段虚平方开之得虚黄方

草曰别得共步即虚大小差也立天元一为虚黄方以三之加入倍之共步得□□为圆径也以圆径加三事得□□为二通和以圆径减三事得□□为二通又副置圆径上加天元得□□为二虚和下减天元得□□为二虚乃置二大和以二小乘之得下□□□【寄左】然后置二大以二小和乘之得下式□□□与左相消得□□□平方开之得三十六步即虚黄方也其余各依法求之合问

或问依前见三事和又云皇极二百八十九步问答同前

法曰二数相乘为实从空一益隅得大

草曰立天元一为通内减皇余□□为皇极勾股和以自之得丨□□于上以皇极幂减上位得丨□为二直积合于皇极除之不除寄为母便以此为城径【寄左】乃以二之天元减共步得□□为黄方面以皇通之得□□与左相消得丨□□开平方得六百八十步即大也合问

或问依前见三事和又云见太虚一百二步问答同前

法曰半虚乘三事为实三事为从四虚隅翻开之得半大

草曰识别得以虚减大半之为皇极以虚加大半之为皇极勾股共也立天元一为半大以二之内减虚得□□折半得□□为皇极也又以虚加大而半之得□□为皇极和也和自之得丨□□于上又以自之得丨□□减上位余得下□为二直积合以皇极除之不除寄为分母便以此为城径【寄左】然后以四之天元减三事共余□□又以皇极分母通之得□□□为同数与左相消得□□□倒积开得三百四十步倍之即大也合问

测圆海镜卷十

钦定四库全书

测圆海镜卷十一

元　李冶　撰

杂糅一十八问

或问城南有槐树一株城东有柳树一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐柳悉与城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳树下甲就槐行四百二十五步至槐树下问答同前

法曰甲就步自之于上以二行相减数自之减上位为实二之二行相减数并入二之甲就步为从一步常法得平

草曰别得丙就步为边也甲就步为底也边即皇髙共也底即皇平共也二行相并即大皇共也二行相减即皇极勾股较也倍皇以减于大余即虚也倍皇内减边余即叀也倍皇内减底余即明也皇极加一差【按一差即皇极勾股较】则大差也内减一差则小差也立天元一为平加一皇极勾股差得□□即髙也髙自之得丨□□内加天元幂得□□□为皇幂【寄左】然后以天元减底得下式□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十六步即平也余各依法求之合问

或问出南门东行有槐树一株甲出北门东行斜望槐树与城相直就槐树行二百七十二步出东门南行有柳树一株丙出西门南行斜望柳树与城相直就柳树行五百一十步问答同前

法曰云数相并而半之以自乘于上半丙斜行以为幂半甲斜行以为幂并二幂减上位为实并云数为益从一步平隅得虚

草曰别得丙斜行为黄广也亦为两个髙也此勾则城径也甲斜行即黄长也亦为两个平也此股则城径也二数相并得□即大虚共也二数相减余□即两个皇极差也二数相并而半之得□即皇极和也立天元一为虚以减于皇极和得□□即皇极也以自之得丨□□为皇幂【寄左】然后以髙自之得□以平自之得□二自乘数相并得□与左相消得□□□开平方得一百二即虚也合问

或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅南行一百五十步望见甲复斜行五百一十步与甲相防问答同前

法曰斜行自之于上倍南行

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