小勾也【内带大股为母】小勾小股相乘得数为一个小勾股相乘直积内带大勾股相乘直积为分母也乃以半城径【即天元也】除之为一个较和也丨□□□□此法本取勾外容圆合以较和除二积为勾外所容之圆今用天元半径除一个积则却得一个较和也内依旧带大积分母也【寄左】然后再置小股□□□合用大积乘之縁内已带大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□为大积所乘小股于上再置小勾合用大积乘之縁内已带大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□为大积所乘之小勾也以此小勾减上小股得□□□即带分小较也又二因小较得下式□□□为带分二较也又以大勾股直积丨□□乘二之天元半径得□□□为一个带分较较也【较较乘较和为二直积既以圆径除二百积为较和则是圆径为较较也今又为半天元圆径除一积为较和故倍天元半径作一个较较也】遂将此较较加入前二较得□□□□亦为一个较和也与寄左相消得下式丨□□□□开三乘方得一百二十步即城半径也合问
又法此问系是洞渊测圆门第一十三前答亦依洞渊细草用勾外容圆术以入于较和然其数烦碎宛转费力今别草一法其亷从与前不殊而中间段络迳捷明白方之前术极为省易学者当自知也 立天元一为半径副之上并加东西行得□□为通勾率下并加南北行得□□为通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄为母便以此为南小股也又置南行四百九十五步内减天元得□□用通勾乘之得□□□内减了南小股下式卜□□为股圆差也内带通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄为母便以此为北小勾也又置东行二百八步内减天元得□□用通股乘之得□□□内减了北小勾余□□□为勾圆差也【内带通股分母】乃以二差相乘得下式丨□【□□】□【□□】为半段圆径幂也内带通积为母【寄左】然后以通勾通股相乘得丨□□以天元幂乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□为同数与左相消得亷从一与前同合问
按洞渊疑为古之精于算者序中谓老大以来得洞渊九容之说而于此问又明其为洞渊测圆门第十三题前答亦依其细草大抵是书之作皆师其意而演之者也今洞渊之为人与书虽不可考而即此一草观之其取径遥深而惟变所适亦可见文豹之一班矣至谓其数烦碎宛转费力特为初学难易而言读者宜善防也
测圆海镜卷十一
钦定四库全书
测圆海镜卷十二
元 李冶 撰
之分一十四问
或问甲乙二人俱在西北隅乙向直东行不知步数而止甲向直南行望见乙复向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝东行步居我南行步十五分之八
法曰十六之共步幂为实二百五十七之共步为益从一十六步常法得勾圆差
草曰别得共步即股共也立天元一为小差以乘共步得□为勾幂就分以二百二十五通之得□为二百二十五段勾幂【寄左】然后再置共步内减小差得□□为二股就分四之得□□为一十五勾以自之得□□□为同数与左相消得□□□平方开之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即也若以减共步而半之得六百步即股也以股幂减幂余一十万二千四百步开平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八万四千步为实以和和一千六百步为法实如法而一得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步数而立甲直东行望见乙复向乙斜行与乙相防甲云我共行了一千步又云我东行步居汝南行步十五分之八
法曰二百二十五段共步幂为实七百六之共步为益从二百二十五步常法得股圆差
草曰别得共步即勾共也立天元一为大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□为二百五十六个股幂【寄左】然后再置共步内减天元大差得□□为二勾就分以一十五之得□□为十六个股也以自之得□□【□□】为同数与左相消得□□□开平方得三百六十即大差也副置共步上位减大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即也余数各依法求之合问
或问甲乙俱在城西北隅甲南行不知步数而立乙东行亦不知步数望见甲就甲斜行与之相防乙云我东步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝东行二百八十步问答同前
法曰别得周居九分径居三分乙东行居四分【按此法未详当加倍较步为实径分数自之内减二分数为法得数三之即城径二十四字】
草曰立天元一为一分之数以三之得□为径以四之得□为勾以径减勾余□为小差【只天元便是小差】再置小差加入甲多步得□□为大差倍大差以天元乘之得□□为一段圆径幂【寄左】再置城径以自之得下式□□为同数与左相消得□□上法下实得八十步即一分之数也以三之得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望见甲既而乙云我所行居城径六分之五甲云然则我所行却多于汝二百八十步问答同前
法曰四之却多步为实分自之于上半分母减子得数倍之又以减数乘之减上位为法得一分之数草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一为一分数以六之为城径以五之为乙行置乙行内减半城径得□为小差也又加入却多步得□□又二之得□□为二大差又以小差乘之得□□为径幂【寄左】然后以径幂□□与左相消得下□□上法下实得四十步即一分之数也六之则为城径五之则为乙行又以却多步加乙行即甲行步也合问
或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行不知步数而立丙向南行望见甲与之相防丙语甲云我行既多于汝又城径少于我四十分之十六【按四十为股分十六为径当云径少于我为四十分之十六原文脱为字似十六为股圆差分矣】甲云然则吾二人共行了九百二十步问答同前
法曰倍子以减倍母又乘共行步为实倍子减倍母以乘子母并数于上又以子幂加上位为法如法得一十五步即一分之数也
草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分数不同耳乃立天元一为一分之数以十六之为城径以四十之为丙行丙行减和步得□□为通勾勾内减径余得□□为小差于上以分母分子相减余□又倍之得□为两个大差以乘上位得□□为圆径幂【寄左】然后以分子十六分自之得下□□与左相消得□□上法下实得一十五步即一分之数也以十六之得二百四十步即城径也合问
或问甲乙俱立于城中心乙出东门直行不知步数而立甲出南门直行亦不知步数望见乙向乙斜行与之相防乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步内若减甲直行余三十四步若减乙直行余一百五十三步问答同前
法曰以云数二减步为小差大差以相乘倍之开平方加入大小差并以自之于上又以大小差相较数以自之减上位为实甲行分乙行分相乘又倍之为隅法得一分之数
草曰别得云步相并得一百八十七是于皇极内少一个皇极黄方靣也又别得三十四步是个小勾圆差其一百五十三步是一个小股圆差此二差又相减余一百一十九即中差也乃立天元一为一分之数以八之得□为乙东行数以十五之得□为甲南行数以二数相乘又倍之得□□为二直积于上【寄左】然后以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一万四百四为平方实开之得一百二步即小黄方也加入相并数一百八十七得二百八十九为小也以自之得八万三千五百二十一为幂于上以中差幂一万四千一百六十一减上位余□与左相消得□□□平方开之得一十七步即一分之数也副置一分之数上位以八之得一百三十六即乙东行也下位以十五之得二百五十五即甲东行也二位相乘得三万四千六百八十又倍之得六万九千三百六十为实以二百八十九为法如法得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行乙出北门东行各不知逺近两相望见复相斜行各行了三百四十步相防甲云城径居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五问答同前
法曰以二之斜行步自之为实以各行分数自之为幂【按此语未详当云以城径六分乘甲南行二分得十二分加半城径三分得十五分为大股分乙东行五分加半城径三分得八分为大勾分各自之为幂】又相并为隅法开平方得一分之数
草曰别得倍斜行为大又别得乙行五分城径六分甲行十二分乃立天元一为一分之数以六之得□为城径以五之得□为乙行分以十二之得□为甲行分乃副置半城径上位加甲行步得□以自之得□□为甲行幂下位加乙行步得□以自之得□□为乙行幂二幂又相并得□□为大幂【寄左】然后置大六百八十步以自之得□与左相消得□□□平方开之得四十步即一分之数也以六之得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之乙斜行与甲相防甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙东行居斜十七分之五问答同前
法曰别得共步即二也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙东行也下位以十二之得八万一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相减余二百八十即勾股差也其余各依法求之合问
或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望见之既而乙谓甲云我取汝六分之五得六百步甲谓乙云我取汝五分之三亦得六百步问答同前法曰求得各行步【按见后草】相并以自之于上并甲南行幂乙东行幂以减上为实并各行为从半步常法得全径
草曰置【乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步】以上六分五分各自直乗步数讫得人【六分 之五 三千六百步五分 之三 三千步】别得左行三千六百步为六乙行五甲行也右行三千步为五甲行三乙行也以方程法入之乃再置【五甲行 六乙行 三千六百步五甲行 三乙行 三 千 步】先以左行直减右行右上空中余三乙行下余六百步上法下实得二百步即乙行也却以今右行减于元左行上余五甲行空中下余二千四百步上法下实得四百八十步即甲行也既得此数乃立天元一为城径以半之副置二位上以加甲行得□□为通股以自之得□□□为大股幂下位加乙行得□□为通勾以自之得□□□为大勾幂二幂相并得□□□为大幂【寄左】乃并甲行乙行以自乗得下式□亦为大幂与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅东行望见之既而乙谓甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲谓乙云我所行内减汝所行四分之三得三百步问答同前
法曰如法求得各行【按见后草】以相乗又二之开平方得全径
草曰置【乙取甲三分 之一 二百步甲减乙四分 之三 三百步】以上三分四分置乗步数讫得【三分之一 六百步四分之三 一千二百步】别得右行六百步为三乙行一甲行也左行一千二百步为四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置【一甲行 三乙行六 百 步四甲行 三乙行负 一千二百步】先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下实得三百六十步即甲行也次以一甲行减元右行六百步余二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二数相乘得数又倍之开平方即城径也合问
或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又云其大小差相减余二百八十步问答同前
法曰二之中差为实置股子以勾母乗之内减股母为法得小差
草曰别得勾圆差即小差股圆差即大差云步即中差乃立天元一为小差以四之得□为勾勾上加中差得□□为股又三之得□□为五个大差也内减五个天元得□□为五个中差也【寄左】乃以五之相减步□与左相消得□□上法下实得八十步即小差也合问
或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步问答同前法曰二之少步实以股子母相减数减勾子母相减数为法如法得小差
草曰立天元一为勾圆差便为勾母每分数以天元加四十步得□□为股母每分数于上乃以股子减股母余二分以乘上位得□□为城径【寄左】再置天元在地以勾子减勾母余三分以乗之得□□为同数与左相消得下丨□上法下实得八十步即勾圆差也合问
或问甲出南门直行乙出东门直行望见甲斜行与甲相防甲云我行不及股圆差二十四分之十五乙云我行不及勾圆差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圆差多于勾圆差二百八十问答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得数倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相较数又九之减上位为实倍小差母得一十却以小差乗之
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