天元以自之又以小股乘之得□□为同数与左相消得□○□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
按此题止用股求勾法即得城半径其必展转数次而后始得者益见其为发明立天元一之术使人易晓也后多有仿此者
或问乙出南门直行一百三十五步而止甲出西门南行四百八十步望乙与城防相直问答同前
法曰二行步相减余以自乘内减乙行幂为实二之甲南行为益从一步常法得半径
草曰立天元一以为半径便以为勾率又以天元加乙行步并以减于甲行步得□□为股率乃置乙南行步一百三十五步为小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此为小勾【内寄股率分母】又置乙南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此为大勾【内寄股率分母】以小勾大勾相乘得□□□为半径幂【内带股率幂为分母】寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
按此草得数为九百六十立方少一三乘方与十万零八百平方等皆虚数也各降二位即如各以平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等而实积步数乃出矣故可以带纵平方开之也此系降位而得实数者与前升位而得实数者其理互相发明草中不言盖以为不待于言也
或问甲乙二人同出西门向南行至西南十字道口分路乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙与城防相直问答同前
法曰两行相乘得数又以乙东行乘之为实二行相乘于上位又置乙东行以二行相减数乘之得数加上位为法
草曰立天元一为半城径副置上位加南行步得□□为大股也下位减于甲行步得□□为小股也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也置天元以母通之得□□减于大勾得丨□□为半个矮梯底于上再置乙东行内减天元得下式□□为半个矮梯头以乘上位得下式□□□□为半径幂寄左再置天元以自之为幂又以分母乘之得□□□为如积与左相消得□□上法下实得一百二十步即城之半径也合问
按草中相消法皆得两边数此独得一边二数盖此条共数比彼条共数少一数又多一数为相等则多少二数其必为相等无疑矣多少数多者亦仿此此又相消法中之一变也
又法二行步相乘为实倍甲南行内减乙东行为法草曰立天元一为半城径副置上位加甲南行得□□为大股下位减甲行步得□□为小股便是股圆差也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大勾余□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁内已有小股分母不湏乘便以此为两段之半径幂也更无分母【寄左】然后置天元幂以二之得□□为如积以左相消得□□上法下实得一百二十步即半城径也合问
或问见边股四百八十步□三十四步问答同前【此题在甲乙二人同出西门南行至十字道乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望见乙与城防相直之后】
法曰□乘边股半之为实半□半边股相并为从半步隅法平方得□股
草曰立天元一为□股加□得□□为平勾也又以天元减边股而半之得□□为髙股也平勾髙股相乘得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘边股得□为同数与左相消得下式□□□开平方得□股三十步以乘边股开平方倍之即圆城径也合问按此问原稿在三卷末
或问见边股四百八十明一百五十三问答同前法曰二云数相减复倍之内减边股复以边股乘之于上又以明幂乘上位为实以边股乘明幂又二之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减又倍之为第二益亷一常法开三乘方得明勾草曰立天元一为明勾加明得□□为髙股也以髙股减边股余□□为髙以倍之得□□为黄广也内减边股得□□为□股复以边股乘之得□□于上又以明自乘得二万三千四百零九为分母以乘上位得□□为分半径幂【寄左】然后置黄广以天元乘之得□□复合以明除之不除寄为母便以此为全径又半之得□□为半径以自之得□□□为同数与左相消得下式丨□□□□开三乘方得七十二步即明勾也余各依法求之合问
又法边股内减二明以边股乘之复以明幂乘之为三乘方实亷从并同前
草曰识别得二数相减余为髙股虚共又为髙明勾共此余数内又去半径即明和也明和明相并即股圆差相减则明黄方也又倍明加明黄亦得股圆差也边股内减明勾余即大差也立天元一为明勾减于云数相减数得□□即髙也以髙减边股得□□即髙股也以髙股减于云数相减数得□□即虚也以天元又减虚得□□即□股也乃置髙以天元乘之得□□合明除之不受除便以此为髙勾也【即半径】髙勾自之得丨□□□为半径幂【内带明幂分母】寄左然后置边股以□股乘之得□□为半径幂又以明幂二万三千四百零九分母通之得□□为同数与左相消得实从亷隅五层如前式
或问边股四百八十步髙二百五十五步问答同前法曰以边股减于二之髙复以边股乘之开平方得半径
草曰立天元一为半径先倍髙内减边股余□复以边股乘之得□□寄左以天元幂与左相消得丨□□开平方得数倍之即城径也合问
或问边股四百八十步平一百三十六步答问同前法曰置平以边股再乘之为实以边股自之为益从平为益亷一虚隅开立方得半径
草曰别得平即皇极勾也立天元一为半径副之上位加平得□□即边勾也下位减于平得□□即□勾也置□勾以边股乘之得□□合边勾除今不受除寄为母便以此为□股乃以此边股乘之得□□为半径幂【内边勾分母】寄左然后以天元为幂以分母边勾乘之得丨□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问边股四百八十步明股明和二百八十八步问答同前
法曰以云之云数相减余加边股复以减余乘之讫又折半于上又以减余自之减上位为实并云数半之为法得明勾
草曰别得二数相减余为大差勾立天元一为明勾减于大差勾得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚勾于上又以半径加边股得□□为通股于下上下相乘得□□□折半得丨□□为半径幂【寄左】然后以半径幂丨□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问
或问见边股四百八十步□勾□和五十步问答同前
法曰半边股半和步相并得为泛率以泛半减边股以自之又二之于上以和步乘泛率减上位为实以泛率减边股六之于上内又加半个边股三个和步为益从三步常法得□股
草曰别得和步得□股即小差也小差边股共即二中差【按此句误】立天元一为□股加和步得□□即小差也以小差加边股而半之得□□即中差也中小差相并得□□即大差也以小差乘之得□□□为半段径幂【寄左】然后置边股内减大差得□□为半径以自之得□□□又倍之得下式□□□与左相消得下式□□□开平方得三十步即□股也合问按草云以小差边股共即二中差有误盖中差即勾股较小差即股较边股即勾较与容圆半径和若设勾二十股二十一二十九则勾较九容圆半径六并之得十五为边股股较八为小差小差边股共得二十三勾股较一为中差倍之仅得二则相差二十一矣是知细草乃因题数之偶合而误非正法也今依其术另设法草于后以补其阙
法曰以□勾和自之边股再乘为实倍边股加□勾和再以□勾和乘之为从又倍□勾和减边股余为益亷一为隅纵立方开之得□股草曰别得边股即髙股和□股即髙股差□股和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以□勾和除之不除便以为□勾较【内寄□勾和分母】转以□勾和自之得□为□勾和加□勾较得丨○□为倍□又以□勾和分母乘倍□股得□为倍□股与倍□相加得丨□□为倍□股和即倍平勾又于边股内减□股得□□为倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□为圆径幂寄左又以边股□股相乘得□为半径幂四因之得□为圆径幂又以□勾和分母乘之得□为同数与左相消得丨□□□开带纵立方得□股三十步合问
测圆海镜卷三
<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜>
钦定四库全书
测圆海镜卷四
元 李冶 撰
底勾一十七问
或问乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之就乙斜行二百七十二步与乙相防问答同前
法曰二行差数乘甲东行又四之为平方实得全径草曰识别得二行相减余即乙出南门东行数也以甲东行减于就乙斜行余七十二步以乘甲东行歩得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问
或问乙从坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问答同前
法曰二行步相乘倍之为实乙南行为从一步常法得城径
草曰立天元一为城径以减于二之甲东行步得【□】□为两个小差以乙南行步乘之得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得二百四十步即城径也合问
又法半之乙南行步乘甲东行为实半乙南行为从一步常法得半径
草曰立天元一为半城径减甲东行得□□为小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙从坤隅东行一百九十二歩而止甲出北门东行二百步见乙问答同前
法曰两行步相乘为实甲东行为从乙为隅得半径草曰立天元一为半径减于乙东行得□□以甲行步乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见乙问答同前
法曰以乙南行步乘甲东行幂又四之为实从空乙行为亷一步常法得城径
草曰立天元一为城径加乙南行得□□为股率其甲东行即勾率也其乙南行□为小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此为小勾【寄股率为母】乃以甲东行步乘之得□ 又四之得□为一段城径幂【寄左】然后以天元城径自之又以股率分母通之得丨□□为同数与左相消得下式丨□□□以立方开之得二百四十步即城径也合问
又法二行相乘又以自乘为实以二行相乘倍之为益方南行幂为亷八步益隅立方开得小勾七十二草曰立天元一为小勾以南行为小股以东行二百步为大勾也置大勾内减天元得□□为中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□为中股即城径也以自之得□□□为城径幂也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□为同数与左相消得□□□□开立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步为实平方开得一百二十步倍之即城径也合问
又法求半径以南行步乘东行幂为实从空东行步为亷二步常法得半径
草曰立天元一为半径以二之加南行步得□□为股率以东行□为勾率以南行为小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此为小勾也又以勾率乘之得下式□为半径幂【寄左】再立天元半径以自之又以分母股率乘之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门南行三十步而止甲出北门东行二百步望乙与城防相直问答同前
法曰以甲东行步乗乙南行幂为实以乙南行幂为从甲东行内减二之乙南行为益亷一步隅得半径草曰立天元一为半城径减于甲东行步得□□为小勾以天元加于乙南行步得□□为小股乃以天元加东行步得□□为大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此为大股【内带小勾分母】又置天元半径以分母小勾乘之得□□减于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□为半径幂【内有小勾分母】寄左然后以天元为幂又以小勾通之得□□□为同数与左相消得下式□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问【翻法在记】
又法乙南行乘甲东行为平实二数相减为法一隅翻开得半径
草曰别得二数相并为大勾内少一虚股其二数相减为小差也 立天元一为半径副置之上位减于二百步得□□为勾圆差【即小差勾也】下位加三十步得□□为小差股勾股相乘得□□□为一段小差积【寄左】再以小差勾减小差股余□□为一较也又以此较减于小差得下
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