行差乘二行并开平方得数内复减二行差得全径
草曰别得二行相减即勾圆差也先求大勾立天元一为大勾以二行相减余八十步以乘二行相并数一千二百八十步得□为勾幂开平方得三百二十步即大勾也大勾内减去勾圆差余二百四十步即城径也合问
或问南门外不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城防相直复就树斜行二百五十五步至树问答同前
法曰倍二行相减数内减甲南行得数复以乘甲南行为实倍二行相减数为从二步益隅得半径草曰识别得斜行步乃是树至城心之数也立天元一为半径加斜行步得□□为树至城北门之步也乃以减于甲南行得□□为小股率其天元半径即小勾率其斜步即小数也再置甲南行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小股率得□□即梯头也复以乘上位得□□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得一百二十歩倍之即城径也合问
或问东门外不知步数有槐树一株甲从干隅南行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了一千一百四十四步乙从艮隅东行望见槐树与城相直复斜行至槐树下乙自云我东行少不及斜行五十六步问答同前
法曰甲斜行减于甲南行以乘甲南行得数复以乘二之甲南行为实半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行减于甲南行余复以乘甲南行又倍之加上位为从方二之甲南行为益亷五分隅法【按五分隅法即半个立方】
草曰识别得五十六步是小差不及平数【此小差即勾圆差也】又为平上勾股差又为甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位减五十六步而半之得五百四十四步即今也立天元一为圆径以半之减于甲南行步得□□为中股其斜行五百四十四步即中也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此为平【内寄中股分母】又置勾圆差不及平数以中股乘之得□□复以减于平□□为小差【内带小股分母】又以天元减甲南行倍之得□□为两个大差以乘小差得□□□为圆径幂【寄左】然后以中股乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问【翻法在记】
或问出东门向南行不知步数有柳树一株甲从干隅南行六百步望见柳树而止乙出东门直行不知步数望柳树与甲相直却斜行三十四步至柳树下问答同前
法曰乙斜行乘甲南行数以乗甲南行幂为实斜行乗甲南行幂又三之为从方甲行幂内减两段斜行南行相乘数【按甲南行内减二之乙斜行以甲南行乘之】为第一亷二之南行步为第二益亷二步常法得半径
草曰立天元一为半径以二之减甲南行得□□为大差以自之得□□□为大差幂加于南行幂得□□□又半之得□□□为大也内带大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大除不除便以此为小股也【内带大分母】乃以天元减甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯头得□□为半径幂于上此半径幂内有大分母縁别寄大分母元带大差分母故又用大差分母□□乘上半径幂得□□□为带分半径幂也所带之分谓只带大分母也【寄左】然后以大乘天元幂得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百二十步即半城径也合问
按此条寄分内又带寄分则以所带之分乘本条仍以寄分乘次条者盖寄分为应除本条之数而寄分内所带之分又为应除寄分之数今不除寄分而乘本条则犹是寄分乘次条之理也乗除之变至斯而极矣
又法置甲南行幂于上又置甲行幂半之以乗上位为实以斜行乗甲行幂倍之于上位又以甲行再自乗加上位为益方置甲行幂于上以斜行乗甲南行倍之以减上位为第一亷甲南行步为第二亷半步常法得股圆差
草曰立天元一为股圆差【即大差】以自之为幂以加甲南行幂得丨□□半之又以天元除之得□□□为大其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大除不除便以为小股【内寄大分母】乃以天元加甲南行步得□□为全梯底也以乗小股半梯头得□□又倍之得□□为城径幂【内寄大为母】寄左置天元大差减甲南行余□□为圆径以自之得丨□□又以大分母乗之得□□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得三百六十步即股圆差也以股圆差减甲南行余二百四十步即城径也合问
或问甲从干隅南行六百步而止丙出南门直行乙出南门东行各不知步数而立甲望乙丙悉与城防相直既而乙就丙斜行一百五十三步相防问答同前法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行幂又倍之减上位为立方实南行步自之又四之于上以斜步乗甲南行又倍之减上位为益从六之甲行步为从亷四步虚常法得半径
草曰立天元一为半径以二之减于甲南行得□□为大差也以自之得□□□为大差幂也乃置甲南行幂内加大差幂而半之得□□□为大也【内寄大差分母】又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□为大勾也【亦带大差分母】乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大除不除便以此为小勾内带大为母【其大勾内元有大差分母不用】即半梯头也【寄上位】再寄天元半径以大差乘之得□□以减于大勾得□为半梯底也以乘上位得□□□为半径幂也【内带大差及大为母】寄左然后置天元幂以大差通之又以大通之得□□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问
依前问假令南门外有树乙出南门东行不知步数而立【只云乙东行步少于树去城步】甲从干隅向南行六百步望树与乙悉与城防相直乙就树斜行一百五十三步至问答同前
法曰以斜行步乗甲行幂为立方实以甲行幂半之于上以斜行步乘甲行步减上位为益从亷空五分隅得大勾大差
草曰别得斜步即小小得小和即勾差也立天元一为股圆差以自之为幂副之上以加甲南行幂而半之得□□□为大也【寄大差分母】下以减于甲南行幂而半之得下式□□□为大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大除不除便以此为小勾【寄大分母】又置斜步以甲南行乗之得□合以大除为小股不除而又以同母分通之得□○为同分小股也【内只寄大分母】注【大股乘时无大差分母故今通之以齐大勾上所有大差分母也】又置斜步以大通之得□□□为通分小也三位相并得□□为股圆差【寄左】然后置天元大差以大分母通之得□○□为同数与左相消得□○□□开立方得三百六十步即股圆差也以股圆差减于甲南行步即城径也合问
或问东门外不知步数有树甲从干南行六百步而止乙出北门东行斜望树及甲与城防相直却就树斜行一百三十六步问答同前
法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之为实二行相乗于上又半甲南行以乘甲南行加上位为益从甲南行为从亷一步益隅开立方得半径
草曰立天元一为半径便以为小股其斜行步即小也乃以甲南行为大股以小乘之复以天元除之得□□即大也又倍天元减甲南行余□□为大差以减大余□□□为大勾也又倍天元以减勾得□□□为小差也却以半大差□□乘之得□□□为半径幂【寄左】乃以天元幂相消得下式丨□□□开立方得一百二十步即半径合问
或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数有柳树一株槐柳二树相去二百八十九步有人从干南行六百步而止斜望槐柳与城防相直问答同前
法曰云数相乘得又自增乗为三乗方实斜步幂乘南行步又云之为益从二云数相乘又倍之【按此下脱内减斜步幂五字】为益亷二之斜步为第二从亷二法常法得槐至城心步
草曰别得槐树至城心步即人所止至槐树步也乃立天元一为槐树至城心步【即人至槐处】加于斜步得□□为边也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此为边股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步得□为大股以边股减之余□□□为半城径【寄斜步分母】以自之得丨□□□□为半径幂【内带斜步为母】寄左又以天元减斜歩得□□为□以天元乘之得□□○合斜步除不除寄为母便以此为半梯头以边股半梯底乗之得□○□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得二百五十五步即槐树至城心之步也亦为皇极正股又自之得数以减斜幂余如平方而一得城心至柳树步又为皇极正勾也勾股相乘倍之为实如斜步而一即城径也合问
或问甲从干南行六百步而立乙出南门直行丙出东门直行三人相望俱与城相直而乙丙共行了一百五十一步问答同前
法曰甲南行为幂折半又以自之为实倍共步加甲南行以乘半段甲行幂为从方甲行乘共数为从亷一个半甲南行为第二益亷二分五厘为三乘方隅草曰识别得共步加城径即皇极和也又是半径为勾之与半径为股之相和步也二之此数内减去大即皇极勾股内黄方面也亦为太虚乃立天元一为大差以自之副置二位上位减于甲行幂以天元除之又折半得□□□为大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□为大也其甲南行即大股也并勾大股得下式□□□即大和也再以天元减甲南行得□□即圆径也加共步得□□即皇极和又是半径为勾之及半径为股之共数也又倍之得□□即全径为勾之及全径为股之共数也内减大得□□□即小和内黄方面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此为大黄方也【内寄小和为母】寄左然后以天元减甲南行得□□为大黄方以小和乗之得丨□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得三百六十步即股圆差也以股圆差减于甲南行余二百四十步即城径也合问
或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从干隅南行六百步斜望乙丙悉与城叅相直乙就丙斜行一百二步相防问答同前
法曰以斜步乘甲南行幂又倍之为实倍甲行幂于上又以斜步乘二之甲南行加于上为从方四之甲南行为益亷四步常法开立方得半径
草曰别得斜步为小也以斜步减圆径余为小和也乃立天元为半径以二之减于甲南行得□□为大差也以自之得□□□为大差幂也置甲南行幂□内加大差幂而半之得□□□为大也【内带大差为分母】又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□○为大勾也【带大差分母】又以大差乘股六百步得□□并入大勾得□□□为大和也【带大差分母】乃先以小乘大和得下式□□□寄左又以倍天元减斜步得□□为小和以乘大得□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半径也合问
依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立【只云丙行步多于乙行步】甲从干隅南行六百步望乙丙与城叅相直乙复斜行就丙行了一百二步与丙相防问答同前
法曰以斜步乘甲行幂又倍之为立方实甲行幂内加斜行南行相乗数为从方甲南行为益亷半步为隅得全径
草曰别得相就步即小也小得小和为直径也立天元一为城径以减于甲南行步得□□为大差以自之得丨□□为太差幂也置甲南行步以自之为幂副之上以加大差幂而半之得□□□为大也【内寄大差分母】下以减大差幂而半之得□□○为大勾也【内寄大差分母】乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大除不除寄为母便以此为小勾也寄大母又置斜步【即相就步也】以甲南行乘之得□合以大除之不除寄为母便以此为小股而又以元分母大差乗之得□□为同分小股也只寄大为母【其大勾内元有大差分母其大股内却无分母故今乘过复以大差通之齐分母也】又置斜行步以大通之得□□□为小也上三位相并得□□为城径也【内寄大分母】寄左然后置天元以大通之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
测圆海镜卷五
钦定四库全书
测圆海镜卷六
元 李冶 撰
大勾一十八问
或问乙从东门直行一十六步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅相直问答同前
法曰甲东行内减二之乙南行复以乘甲东行为实四之东行内减二之乙东行为从四益隅得半径草曰立天元一为半径以二之加乙东行得□□为中勾以中勾减于甲东行得□□为勾率也其天元半径即股率也置甲东行为大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此为大股【内带勾率分母】再置天元以二之以勾率乗之得□□减于大股余□□为股圆差于上【内有勾率分母】又以二之天元减甲东行得□□为小差以乗上位得□□□为半段黄方幂【内有勾率分母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即
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