科学计算与数学建模

第1章 绪论——数学建模与误差分析

1.1 数学模型求解与科学计算

1.2 数学建模及其重要意义

1.2.1 数学建模的过程

1.2.2 数学建模的一般步骤

1.2.3 数学建模的重要意义

1.3 数值方法与算法评价

1.4 误差的种类及其来源

1.4.1 模型误差

1.4.2 观测误差

1.4.3 截断误差

1.4.4 舍入误差

1.5 绝对误差和相对误差

1.5.1 绝对误差和绝对误差限

1.5.2 相对误差和相对误差限

1.6 误差传播与算法稳定性分析

1.6.1 误差传播估计的一般公式

1.6.2 误差在算术运算中的传播

1.6.3 算法稳定性的实例分析

习题1

第2章 铁轨既有线路恢复问题——插值与拟合算法

2.1 铁轨既有线路恢复问题

2.2 求未知函数近似表达式的插值法

2.2.1 求函数近似表达式的必要性及插值函数的定义

2.2.2 插值多项式的存在唯一性

2.3 Lagrange插值法

2.3.1 Lagrange 插值基函数

2.3.2 Lagrange插值多项式

2.3.3 插值余项

2.3.4 插值误差的事后估计法

2.4 Newton 插值法

2.4.1 向前差分与Newton 向前插值公式

2.4.2 向后差分与Newton向后插值公式

2.4.3 差商与Newton 基本插值多项式

2.5 求插值多项式的改进算法

2.5.1 分段低次插值

2.5.2 三次样条插值

2.6 求函数近似表达式的拟合法

2.6.1 曲线拟合的最小二乘法

2.6.2 加权最小二乘法

2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合

2.7 铁轨既有线路恢复的简单方法

2.7.1 铁轨既有线路恢复的光滑连接问题与数值微分

2.7.2 利用插值多项式求未知函数的导数近似值

2.7.3 用插值方法恢复铁轨的既有线路

2.7.4 用分段线元拟合方法恢复铁轨的既有线路

2.7.5 缓和曲线介绍

习题2

第3章 湘江水流量估计模型——数值积分法

3.1 湘江水流量估计

3.1.1 实际问题与背景

3.1.2 湘江水流量估计模型

3.2 数值积分公式的构造及代数精度

3.2.1 数值求积的必要性

3.2.2 构造数值求积公式的基本方法

3.2.3 求积公式的余项

3.2.4 求积公式的代数精度

3.3 数值求积的Newton-Cotes方法

3.3.1 Newton-Cotes公式

3.3.2 复合Newton-Cotes公式

3.3.3 误差的事后估计与步长的自动选择

3.3.4 复合梯形公式的递推算式

3.4 Romberg算法

3.4.1 Romberg算法的基本原理

……

第4章 养老保险问题——非线性方程求根的数值解法

第5章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法

第6章 弹簧系统的受力问题——线性方程组数值求解的迭代法

第7章 传染病模型——常微分方程数值解法简介

第8章 决策方案评价问题——层次分析法

第9章 长江水质的综合评价问题——综合评价方法

第10章 我国人口增长预测问题——预测方法及应用

参考文献