各方面内容，形成了一个较完备的体系，可用作教材，它确实是一部较好的启蒙数学书．
在全书之首，朱世杰首先给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数．其中包括：乘法九九歌诀、除法
九归歌诀(与后来的珠算归除口诀完全相同)、斤两化零歌诀(“一退六二五”之类)、筹算记数法则、大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等等．值得指出的是，朱世杰在这里，也是在中国数学史上首次记述了正负数的乘除运算法则．朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等，作为“总括”而列在全书之首，这种写作的方式，在中国古算书中并不多见．
《算学启蒙》正文分上、中、下三卷．
卷上：共分为8门，收有数学问题113个，其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘
法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题(包括计算利息、税收等等)．
其中“库司解税门”第7问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第10、11两问中均载有“两务税”
等，都是当时实际施行的税制．朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际．因此，书中提到的物价(包括地价)、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的．
卷中：共7门，71问．内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等等．
卷下：共5门，75问．内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等等．
这样，《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手，一直讲述到当时数学的重要成就——天元术(高次方程的数值解法)，为阅读《四元玉鉴》作了必要的准备，给出了各种预备知识．清代罗士琳说《算学启蒙》“似浅实深”，又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”，这些话都是不错的．
《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本．在朝鲜的李朝时期，《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕(算官)的基本书籍．在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》，与此书一起，同时也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鲜庆州府刻版的《杨辉算法》．从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433年朝鲜庆州府刻本．这可能要算是当今世界上最早的传世刻本．在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料．《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个寺院中发现了这部书，之后他的学生土师
道云进行了翻刻(日本万治元年，1658，京都)．宽文12年(1672)又在江户(今东京)出版了星野实宣注解的《新编算学启蒙注解》3卷，元禄三年(1690)还出版了著名的和算家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7卷．《算学启蒙》对日本和算的发展有较大的影响．
《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国内却失传了．清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》尚无着落．后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺治十七
年(1660)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在扬州重新刊印出版．这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本．清代对《算学启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》(1884)和徐凤诰所著《算学启蒙通释》(1887)．
2．《四元玉鉴》
与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著．全书共分3卷，24
门，288问．书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题(需设立四个未知数者)有7问(“四象朝元”6问，“假令四草”1问)；三元者13问(“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1问)；二元者36问(“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2问，“假令四草”1问)；一元者232问(其余各问皆为一元)．可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就．
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题．在此基础上，朱世杰还进一步解决了高
次差的招差法问题．
四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折．这部1303年初版的著作，在15和16两个世纪都
还可以找到它流传的线索．吴敬所著《九章算法比类大全》(1450)中的一些算题，和《四元玉鉴》中的算题完全相同或部分相同．顾应祥在其所著《孤矢算术》序言(1552)中写道：“孤矢一术，古今算法载者绝少，……《四元玉鉴》所载数条。”周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”．可见顾周二人都曾读到过《四元玉鉴》．清初黄虞稷(1618—1683)《千顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”，卷数不符．梅瑴成《赤水遗珍》(1761)中曾引用过《四元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传．
乾隆三十七年(1772)开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱世杰的著作并未被收入．阮元
、李锐等人编纂《畴人传》时(1799)也尚未发现《四元玉鉴》．但不久之后阮元即在浙江访得此书，呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校算(未校完)，后由何元锡按此抄本刻印．这是1303年《四元玉鉴》初版以来的第一个重刻本．《四元玉鉴》被重新“发现”之后，引起了当时许多学者的注意，如李锐(1768-1817)、沈钦裴(1829年写有《四元玉鉴》序)、徐有壬(1800—1860)、罗士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都进行过研究．其中，以沈钦裴和罗士琳二人的工作最为突出．
1839年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书，影响广泛．罗氏对《四元玉鉴》进行
了校改并对书中每一问题都作了细草．但是他对此书关键问题(四元消法和级数求和)的理解，尚有需进一步研究者．与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究，每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰原意．沈氏《细草》仅有两种抄本传世(其中一种是全本)，现均收藏于北京图书馆．
清代数学家李善兰曾著有《四元解》(1845)，但此书是作者以己意解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大
．其后陈棠著《四元消法简易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元术是有帮助的．日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一书中将《四元玉鉴》介绍至国外．其后康南兹(E．L．Konantz)和赫师慎(L．VanHeé分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字．1977年华裔新西兰人谢元祚(J．Hoe)将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元玉鉴》的论文．
朱世杰的数学成就可简述如下：
1．四元术
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的．天元术是一元高次方程列方程的方法．天元术开头处总要有“立天
元一为××”之类的话，这相当于现代初等代数学中的“设未知数x为××”．四元术是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知数最多时可至四个．四元术开头处总要有“立天元一为××，地元一为○○，入元一为△△，物元一为**”，即相当于现代的“设x，y，z，为××，○○，△△，**”．天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数(x)的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推广．按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项(元气居中)，常数项下依次列入x各次幂的系数。左边列y，y2，y3，…各项系数，右边为z，z2，z3，…各项系数，上边为u，u2，u3，…各项系数，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各项系数依次置入相应位置中(如图1)．例如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列筹式表示(如图2)．而(x y z u)2=A，即可以图3所示之筹式表示之，即将(x＋y Z＋u)2=x2 y2＋z2＋u2＋2xy＋2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如2xu，2yz的系数记入夹缝处，以示区
别．图3即是《四元玉鉴》书首给出的“四元自乘演段之图”(为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替了原图中的算筹)．如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表示一个方程．
四元式的四则运算如下进行．
(1)加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置上的两个系数相加、减即可．
(2)乘：
1)以未知数的整次幂乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，则等于以该项系数乘整个四元式各项
再将整个四元式下降，以x乘则下降一格，x2乘则下降二格．以y的各次幂乘则向左移，以z乘则右移，以u乘则上升．
2)二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加．
(3)除(仅限于用未知数的整次幂来除)：等于以该项系数除四元式各项系数之后，整个四元式再上、下、左、
右移动．
上述四则运算也就是莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”．在当时
中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵．
朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一个未知数，从而解决了整
个方程组的求解问题．其步骤可简述如下：
1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二行式，这相当于求解或将其写成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多项式．朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内二行相乘、外二行相乘，相消”．也就是F(z)=A0B1-A1B0=0．
此时F(z)只含z，不含其他未知数．解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x．
2)二元多行式的消法不论行数多少，例如3行，则可归结为以A2乘(2)式中B2x2以外各项，再以B2乘(1)式中A2x2以外各项，相消得C1x C0=0．(3)以x乘(3)式各项再与(1)或(2)联立，消去x2项，可得D1x D0=0．
(4)(3)，(4)两式已是二元二行式，依前所述即可求解．
3)三元式和四元式消法
如在三元方程组中(如下列二式)欲消去y：
式中诸Ai，Bi均只含x，z不含y．(5)，(6)式稍作变化即有以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0．(9)(9)式再与(7)，(8)式中任何一式联立，相消之后可得D1y＋D0=0．(10)
(9)，(10)联立再消去y，最后得E=0，(11)
E中即只含x，z．再另取一组三元式，依法相消得F＝0．(12)(11)，(12)只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即可得出一个只含一个未知数的方程，消去
法步骤即告完成．
以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹
列成筹式进行的，虽然繁复，但条理明晰，步骤井然．它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在全世界，在13—14世纪之际，也是最高的成就．显而易见，在一个平面上摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是朱世杰四元术的局限所在．在欧洲，直到18世纪，继法国的E．贝祖(Béout，17779)之后又有英国的J．J．西尔维斯特(Sylvester，184
0)和A．凯莱(Cay-ley，1852)等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究．
2．高阶等差级数求和
在中国古代，自宋代起便有了关于高阶等差级数求和问题的研究．在沈括(1031—1095)和杨辉的著作．(1261
—1275)中，都有各种垛积问题，这些垛积问题有一些就是高阶等差级数问题．另外，在历法计算过程
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