中，特别是
在计算太阳在黄道上的精确位置时，要用到内插法．在宋代历法中，已经考虑并用到三次差的内插法．这也是一种高阶等差级数的求和问题．
朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化．
据研究，朱世杰已经掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
三角垛
撒星形垛
三角撒星形垛
(又称“撒星更落一形垛”)
三角撒星更落一形垛从中不难看出前垛的求和结果恰好是后垛的一般项，即前垛的各层累计的和刚好是后垛中的一层，因此朱世杰常把后一种垛积称为前一垛积的“落一形垛”．这串公式可用一个公式来表达，即当p=1，2，3，4，5时．(A)式就是上述五个公式．
除(A)式之外，朱世杰还已掌握了当P=1时称为四角垛，即当P=2时称为岚峰形垛，即当P=3时称为三角岚峰形垛，即当然，《四元玉鉴》中也还有一些其他类型的垛积问题．
由于朱世杰已经掌握了公式(A)，掌握了一串三角垛公式，这使他有可能超越前人，提出高次招插法公式，从
而有可能解决任何一类高阶等差级数的求和问题．《四元玉鉴》“如象招数”门最后一问中提出了一个需用四次差(即四次差相等，五次差等于0)的招差问题．如以现代符号记述，以△1，△2，△3，△4表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相当于给出了招插公式：
这是一个有关计算招兵人数的问题．朱世杰的解法是“求兵者：今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积
，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积，以各差乘各积，四位并之，即招兵数也”，所描述的刚好就是上述公式．因为朱世杰指出了上述公式各项的系数，刚好依次是一串三角垛的“积”，从这一点出发不难推断朱世杰是可
以将其推广至任意高次的高阶等差级数和招差问题上去的．在西方，是J．格雷戈里(Gregory，1638—1675)最先对招插法进行了研究，直到牛顿的着作(1676，1678)中才
出现了关于招插术的一般公式．当然牛顿的公式采取了近代数学的形式，而且用途广泛，但朱世杰的首创之功也是不可泯灭的．
朱世杰在数学方面的贡献并不局限于上述两点，例如《算学启蒙》中所列各种歌诀、口诀(包括除法口诀)均已
十分齐备，这为计算工具由筹算到珠算的过渡创造了条件．但四元术和高阶等差级数求和问题两方面的成就，仍显得十分突出，由于这两方面成就的出现，使得高度发展了的宋元时期的中国数学，更放异彩．
清代数学家王鉴说，朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所长”，罗士琳也说他是“尤超越乎秦、李之上”．清代
末年还有人评论说“中法以《四元玉鉴》为诣极之书”．20世纪美国著名的科学史家G．萨顿(Sarton，1884—1956)评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”．如此之高的评价，朱世杰和他的著作都是当之无愧的．
朱世杰
“燕山朱松庭先生”，是我国元朝时代的一位杰出的数学家。所写的《四元玉鉴》和《算学启蒙》，是我国古
代数学发展进程中的一个重要的里程碑，是我国古代数学的一份宝贵的遗产。
朱世杰的青少年时代，正相当于蒙古军灭金之后。但在灭金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗
攻占。
元世祖忽必烈继汗位之后，于1264年（至1266年）为便于统治中原地区的人民，迁都燕京（后改称大都，亦即
今之北京）到了13世纪60年代燕京不只是全国的政治中心，而且也是当时全国重要的文化中心，特别是北方的一个文化中心。
忽必烈为了元朝的统治，曾网罗了一大批汉族的知识分子充作智囊团。其中就著名的有王恂（1235—1281）、
郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，这个智囊团中的人物，对数学和历法都很精通，他们未入朝前曾隐于河北省南部武安紫金山中。
13世纪中叶，在现在的河北省的南部地区和山西省的南部地区，出现了一个以天元术为其代表的数学研究中心
。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龙山外，山西临汾的蒋周，河北蠡县的李文一，河北获鹿的石信道等人都在研究天元术。朱世杰也继承了北方数学的主要成就——天元术，并将其由二元、三元推广至四元方程组的解法。
朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他也吸收了南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的歌诀等等。
在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代数学家）序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后图学，为书三卷……名曰《四元玉鉴》”，祖颐后序中亦有“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”。经过长期的游学、讲学等活动，终于在1299年和1303年，在扬州，刊刻了他的两部数学杰作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》。杨辉书中的归除歌诀在朱世杰所著《算学启蒙》中有了进一步的发展。
清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古（即秦九韶）、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，汉卿天元如积皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦、李之所长，成一家之著作”。朱世杰全面继承了并创造性地发扬了天元术、正负开方法等秦、李书中所载的数学成就之外，还囊括了杨辉书中的日用、商用、归除歌诀之类与当时社会生活密切相关的各种算法，并作了新的发展。
由此看来，在朱世杰的工作中，不仅有高次方程的解法，天元术等为代表的北方数学的成就，也包括了杨辉工作中所体现出来的日用，商用算法以及各种歌诀等南方数学的成就，不仅继承了中国古代数学的光辉遗产，而且又作了创作性的发展。朱世杰的工作，在一定意义上讲，可以看作是宋元数学的代表，可以看作是古代筹算系统发展的顶峰。就连西方资产阶级学者们也不能否认这一点，乔治·萨顿说：朱世杰“是汉族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章，形成了宋代中国数学发展的最高峰。
朱世杰朱世杰字汉卿，号松庭，元朝人，籍贯燕山（今北京附近）。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周
游湖海二十多年，四方登门来学习的人很多。
朱世杰全面继承了秦九韶（约公元1202－1261年，他的主要著作是《数书九章》）、李冶（公元1192－1279年，主要著作是《测圆海镜》和《益古演段》。）、杨辉（著有《详解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通变算宝》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等）三人的数学成就和各种实用算法，而且创造性地予以发展，写出《算学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名著作，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋、元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。自乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中最
重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》成书于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四门，二百八十八问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法棗“四元术”、高阶等差级数的计算棗“垛积术”以及“招差术”（有限差分）等方面的研究成果。
秦、李、杨、朱的数学著作内容广泛而艰深，象高次方程的数值解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等，都是具有世界意义的学术成就，分别比欧洲要早出现四百年到八百年，在当时世界上居于遥遥领先的地位。这一丰富多彩的辉煌时期在我国数学史上也是罕见的。
朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（χ）外，还需要增设地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列写出二元、三元甚至四元的
高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程，在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。
朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”上，指出招差公式中的各项系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近四个世纪。除了“四元消法”和“垛积招差”以外，朱世杰在他的著作中还提出了许多值得注意的内容：在中国数学史上，朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则。他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论。虽然结论不很正确，但是他的创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中，朱世杰记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学的发展做出了不可磨灭的重要贡献。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋、元时期的数学水平达到光辉的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
《算学启蒙》
中国元代数学家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于扬州，此刊已不存。
本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一
个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。本书的正文分3卷，20门，259问。卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法。
许多问题反映了元代的社会经济情况。卷中7门，71问，是面积、体积及各种算术问题。卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积（即高阶等差级数求和）、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题。还处理了开方过程中系数变号的问题。
《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比
例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
