九方分之外如此□共积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽的如蔡氏说依古率十二方分通计十二亿忽开方亦得此数但依此径以密率相乗则空围内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七丝十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二丝六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大谓曰不信亦当以图证之假如设此□为十二方分就此十二方分之中取径则方内径如此□乃就方内之径圎之如此□细考之则方内之圎所占者不止四分三圎外之方所当退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虚加实退筭家大约之法至于律管则空积忽微以之造律未为得也盖律之大要莫先气以求从长又在善筭以求周径今具筭法于后
求黄钟围长法第四【以彭氏律法八章定】
【此圎者黄钟管之周围也又名围长互算得十分六厘三毫六丝八忽强】
算法从长平方立方图
一分从长十厘当万忽 平方百厘当万万忽约一亿忽 立方千厘当万亿忽
一厘从长十毫当千忽 平方百毫当百万忽 立方千毫当十万万忽约十亿忽
一毫从长十丝当百忽 平方百丝当万忽 立方千丝当百万忽
一丝从长十忽 平方百忽 立方千忽
彭氏曰筭经少广章开圎唐李氏注依密率八十八乗之七而一开方除之即周此置积求周法也又方田章圎田术李氏注密率以七乗周二十二而一即径以二十二乗径七而一即周此置周求径置径求周法也此密率本祖氏冲之所作比之古率极为精密今以黄钟面羃开方求周径一依此术既得黄钟面羃九方分该九万万忽约之为九亿忽依密律筭圎周法置九亿忽以八十八乗之得七百九十二亿忽乃以七归之得一百一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二是为实数以此实数开方求圎周置此实数在地借一筭子歩约至亿下约得至万而止是名下法【谓亿之面万以此记方面从长数】乃于实数之上商置一十万名上商【记方面从长就以此除地上实数】乃于实数之下下法直上置一十亿名方法
□
□
忽
十
丌百
□千
万 下法丨
上商 □十
百
千
川亿
十 方法
实丨百
方法一十亿合商一【呼一一如一为一百亿】乃命上商除实数一百亿犹存实数一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二第二重开之方法十亿倍之得二十亿一退得二亿下法万一退得千乃于上商十万位下续商置六千又于方法之下下法直上置六百万名廉法
□
□
忽
十
丌百
丄 □千 下法
□ 万
上商 □十
百防法丅
千
川亿
实 十
方法二亿合商六得十二亿【呼二六一十二也】廉法六百万亦从上商六得三千六百万【呼六六三十六也】乃命上商除实数十二亿三千六百万犹存实数七千八百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二第三重开之倍廉法六百万得一千二百万并入方法二亿内共得二亿一千二百万一退得二千一百二十万下法千再退百乃命上商六千位下续商置三百又于下法直上置三万亦名廉法
□
□
□忽
一十
□ 丌百 下法丨
丄 □千
□ □万 廉法□
上商一 二十 二
□百 丨
实□千 方法□
方法二千一百二十万合商三得六千【呼二三得六也】三百【又呼一三如三也】六十万【又呼二三如六也】廉法三万亦从上商三得九万【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百六十九万犹存实数一千四百五十九万五千七百一十四忽七分忽之二第四重开之倍廉法得六万并入方法二千一百二十万内共得二千一百二十六万一退得二百一十二万六千下法再退得十乃于上商三百位下续商置六十又于下法之上置六百亦名廉法
□
忽
丄 一十 下法一
□ 丌百防法丅
丨 □千 丄
囗 万
上商 □十
百 方法
实千
方法二百一十二万六千合商六得一千二百七十五万六千【呼二六一十二又呼一六如六又呼二六一十二又呼六六三十六共得此数】廉法六百亦从上商六得三千六百【呼六六三十六也】乃命上商除实数一千二百七十五万九千六百忽犹存实数一百八十三万六千一百一十四忽七分忽之二第五次开之又倍廉法六百得一千二百并入方法二百一十二万六千中共得二百一十二万七千二百一退得二十一万二千七百二十下法再退得一乃于上商六十位下续商置八又于下法之上置八亦名廉法
□
忽忽廉法下法丨
丄十十 □
□百丨百 丌
丄千丄千 □
囗 □万
上商一 □十 方法□
实丨百
方法二十一万二千七百二十合商八得一百七十□万一千七百六十【以八呼上方法而得此数也】廉法八亦从上商八得六十四【呼八八六十四也】乃命上商除实数一百七十□万一千八百二十四忽犹存实数一十三万四千二百九十□忽七分忽之二在地又须第六重开之乃以一忽作万万分【毎一忽从计一万分毎一忽平方计一万万方】约之为一亿分则在地不尽实数共积得一十三万四千二百九十□亿二千八百五十七万一千四百二十六分竒【以一忽作一亿分筭故通前七分忽之二以七归之共得此数】前开方已得毎一面从计一十□万六千三百六十八忽乃倍前廉法八得一十六忽并入前方法内共得二十一万二千七百三十六忽以亿法通之【前所余实数既以一忽作一亿分筭故此方法忽数亦以亿法通之】计得二十一万二千七百三十六亿分一退得二万一千二百七十三亿六十万分前下法一升为万再退得千前上商十□万六千三百六十八升为十□亿六千三百六十八万乃于前上商八忽位下续商置六千又于下法之上置六百万亦名廉法
丅分
□十
百
丄 千下法
丌万
丄 □十
川 百廉法丅
丄 □千 丄
□亿 川
上商 □十 □
百
□千
川万 方法
实十
方法二万一千二百七十三亿六千万分合商六得一十二万七千六百四十一亿六千万分【以六呼上文方法而得此数也】廉法六百万分亦从上商六得三千六百万分【呼六六三十六也】乃命上商除实数一十二万七千六百四十一亿九千六百万分犹存实数六千六百四十八亿三千二百五十七万一千四百二十六分第七重开之倍廉法六百万得一千二百万并入前方法内共得二万一千二百七十三亿七千二百万一退得二千一百二十七亿三千七百二十万下法再退得百乃于上商六千位下续商置三百分又于下法之上置三万亦名廉法
丅分
□十
川 百 下法丨
丄 一 千
丌万廉法川
丄 □十
川 百 丌
丄 千
□ 亿 丌
上商 □十 □
丅百 丨
实丄千 方法□
方法二千一百二十七亿三千七百二十万合商三得六千三百八十二亿一千一百六十万分【以三呼上文方法而得此数也】廉法三万亦从上商三得九万分【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百八十二亿一千一百六十九万分犹存实数二百六十六亿二千八十八万一千四百二十六分第八重开之倍廉法三万得六万并入前方法内共得二千一百二十七亿三千七百二十六万一退得二百一十二亿七千三百七十二万六千下法再退得十乃于上商三百分下续商置一十分又于下法之上置一百分亦名廉法
丄分
□十 下法
川 百廉法丨
丄 千 丄
万
丄 十 □
川百 川
丄 □千 □
□ 丅亿
上商一 丄十
实百 方法
方法二百一十二亿七千三百七十二万六千分廉法一百分皆以上商一命之共计除实数二百一十二亿七千三百七十二万六千一百分犹存实数五十三亿四千七百一十五万五千三百二十六分第九重开之倍廉法一百得二百并入前方法内共得二百一十二亿七千三百七十二万六千二百一退得二十一亿二千七百三十七万二千六百二十下法再退得一乃于上商一十位下续商置二又于下
法之上置二名隅法
丅分隅法下法丨
□十□
川 川百丅
丄 □千□
万丌
丄 十
□ □百□
□□千 □
□□亿 丨
上商一 实□十 方法二十
方法二十一亿二千七百三十七万二千六百二十分合商二得四十二亿五千四百七十四万五千二百四十分【以二呼上文方法而得此数也】隅法二亦从上商二得四分【呼二二如四也】乃命上商除实数四十二亿五千四百七十四万五千二百四十四分犹存实数一十 亿九千二百四十一万八十二分计一十忽竒开不尽弃之
已上黄钟靣幂九方分该九亿忽开方得一十万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分即圎周数以一万忽为从分法除之得一十分不尽六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一千忽为从厘法除之得六厘不尽三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一百忽为从毫法除之得三毫不尽六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一十忽为从丝法除之得六丝余八忽万分忽之六千三百一十二分黄钟律圎周的计一十分六厘三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分
求黄钟径长法第五【以彭氏律法八章定】
【圎内直者黄钟管内径长也互算得三分三厘八毫四丝四忽强】
彭氏曰置前黄钟圎周数一十□万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分在地今具数如左
□分
□十
□百
丄千
□忽
丄十
□百
丄千
□万
一十
据前在地之数依算经密率置周求径法以七乗之【其以七相乗布筭之法防移増减筭位无常今不可以具图晓筭法者当自知之后不具图者仿此】得七十四万四千五百八十忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数如左
□分
十
□百
□千
□忽
十
□百
□千
□万
□十
乃据上文以七乗之所得之数却以二十二而一除之【即筭法二归二除也葢于二十二分中取其一分以为径长之数】得三万三千八百四十四忽不尽一十二忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数及不尽之数如左
分 【此上一层三万三千八百四十四忽者即以二归二】□十 【除所得全忽之数也下一层一十二忽四千一百八】丨百 【十四分者乃不尽之余数不可归除作全忽之数又】□千 【须别归除之作忽外零数详见下文】
忽忽
□十□十
百
千
□万
通分内子【即以前不尽之数通而计之也】得一十二万四千一百八十四分以二十二而一除之得五千六百四十四分余二十二分分之一十六【余分少六数于筭法二十二分之数不足故不能满一分止当得七厘有竒】今以余分姑作一分通计五千六百四十五分今具图说如左
丅分 【此上一层五千六百四十四者即以二归二除已前】十 【不尽之数而得此忽外全分之数也下一层一十六】
分 【分者又归除分外不尽之余数不可归除作全分之】
□十 【数者也若归除之止得七厘强不满一分然此数所】
丅百 【少者微尘耳筭法不容不然今故举成数言姑作五】
□千 【千六百四
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