天顶北
太隂子防在夏至未防之前
而在正午之西当于黄道赤
经交角内减赤经高弧交角
为黄道高弧交角今甲子丁
赤经高弧交角与辰子夘角
等反大于巳子辰黄道赤经
交角则于辰子夘赤经高弧
交角内反减巳子辰黄道赤
经交角余巳子夘角为黄道
高弧交角即知黄平象限在
天顶北也又如太隂申防在
夏至未防之前而在正午之
东当以赤经高弧交角与黄
道赤经交角相加为黄道高
弧交角今甲申丁赤经高弧
交角与戌
申酉角等与巳申戌黄道赤
经交角相加大于一百八十
度则减去巳申戌角及戌申
未角共一百八十度余未申
酉角为黄道高弧交角亦如
黄平象限在天顶北也总之
黄道出入于赤道之内外随
天左旋其高低斜正旣随时
不同又以人所居之南北异
地改观益多变换然定之以
数自无遁形或从地平立算
或从子午圈立算或从赤道
经圈立算法虽不同理实一
致合而观之益见弧线三角
之用至通变矣
求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】
定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同
求白经高弧交角
日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左
如图甲为天顶乙丙丁戊
为地平圏丙己戊为赤道
庚己辛为黄道己为春分
庚为冬至辛为夏至癸为
赤极【即北极】壬为黄极庚壬
癸辛为过二至经圏即过
二极经圏冬至日行在庚
黄赤二经合为一线无交
角冬至后日行自南而北黄
经必在赤经西渐逺则角渐
大至春分而止如日行在子
壬子黄经在癸子赤经西壬
子癸角为黄赤二经交角即
癸子己黄道赤经交角之余
春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬
己癸角为黄赤二经交角与
戊己辛二道交角等是为最
大过此又渐小【壬己辛角戊己癸角
皆九十度】夏至日行在辛则黄
赤二经又合为一线无交角
夏至后日行自北而南黄经
必在赤经东渐逺则角又渐
大至秋分而止如日行在丑
壬丑黄经在癸丑己子壬角
九十度壬己辛角戊己癸角
赤经东壬丑癸角为黄赤
二经交角即癸丑辛黄道
赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘
角等】秋分日行在寅壬寅黄
经在癸寅赤经东壬寅癸
角为黄赤二经交角与丙
寅辛二道交角等过此又
渐小至冬至乃复合为一
线也至白道之交于黄道
亦如黄道之交于赤道但
其行度自正交起算交食
时日月又必近交故其南
北东西及两经交角惟以
两交为定设白极在辰正
交在午白道自南而北【犹黄
道之春分】日行在正交防如午
或正交前如子正交后如
巳白经皆在黄经西黄白
二经交角皆与黄白二道
交角为相等【惟日在正交午防其壬午
辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在
交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经
交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与
上编捷法同】此黄经在赤经西
白经又在黄经西则以黄
白二经交角与黄赤二经
交角相加为赤白二经交
角也设白极在申中交在
酉白道自北而南【犹黄道之秋分】日行在中交防如酉或中
交前如子中交后如已白
经皆在黄经东黄白二经
交角亦与黄白二道交角
为相等此黄经在赤经西
而白经在黄经东则以黄
白二经交角与黄赤二经
交角相减为赤白二经交
角黄赤二经交角大则从
黄经之向白经亦在赤经
西也设黄经在赤经西而
中交近二至经圏如戌亥
戌白经在壬戌黄经东壬
戌亥黄白二经交角反大
于壬戌癸黄赤二经交角
相减余癸戌亥角为赤白
二经交角则从白经之向
白经转在赤经东也旣得
赤白二经交角是为初亏
食甚复圆同用之数【初亏至复
圆太阳行度无几故二经交角不改】随时求
得赤经高弧交角与之加
减即得各时白经高弧交
角如日行在子是为午后
甲子癸角为赤经高弧交
角辰子癸角为赤白二经交
角此赤经在高弧西白经又
在赤经西则相加得辰子甲
角为白经高弧交角白经更
在高弧西是知太阳在白平
象限西也又如日行在己是
为午前甲己癸角为赤经高
弧交角辰己癸角为赤白二
经交角此赤经在高弧东白
经在赤经西则相减余甲己
辰角为白经高弧交角赤白
二经交角大白经为在高弧
西是知太阳虽在午东而却
在白平象限西也盖惟太阳
正当白平象限则白道经圏
过天顶与高弧合为一线限
东者白经
必在高弧东限西者白经必
在高弧西是定白经之东西
与白平象限一理也又与白
道平行作干坎线则辰子坎
角为九十度甲子坎角为白
道高弧交角与干子艮角等
甲子辰白经高弧交角即甲
子坎角之余是用白经高弧
交角与用白道高弧交角一
理也又如癸丁北极出地二
十八度赤道距天顶之甲震
弧亦二十八度春分巳防在
午西夏至前巽防当正午震
巽距赤道北二十三度余正
交在离巽甲距黄道北又四
度余则白道在天顶与高弧
合日行在
离甲离癸赤经高弧交角与
癸离坤赤白二经交角相加
得甲离坤白经高弧交角适
足九十度盖白经与白道相
交其角必九十度白道既与
高弧合故白经高弧交角亦
九十度也过此以徃北极愈
低则白道极北入地平下南
出地平上白道即在天顶北
白经高弧交角即大于九十
度而成钝角则与半周相减
余为白道南之经圏与高弧
相交之角是不求限距地高
而白平象限在天顶之南北
俱以白经高弧交角为定也
白经在赤经东者仿此
求高下差
高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太隂地半径差恒大故于太隂地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉【见上编日食三差及日月地半径差篇】如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太隂以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比【见本编日躔地半径差篇】而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正之比【交食时日月高弧畧相等故即以日高弧为月高弧】必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太隂距地数求得太隂地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正为比例其法甚为省便也
如图甲为地心乙为地面丙
丁为日天戊己为月天假如
日在庚实距天顶为丙甲庚
角视距天顶为丙乙庚角与
丙甲丁角等其差庚甲丁角
即地平太阳地半径差与甲
庚乙角等甲乙地半径即其
角之正与庚辛等
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