末
率求得乙申中率九九九
九二八五【小余八九】作平圆则
大半径所作丁辛己壬平
圆与中率所作申酉戌亥
平圆二面积之比例亦同
于大径平圆外切癸子丑
寅正方积与中率平圆外
切干坎艮震正方积之比
例此二比例既同而干坎
艮震正方积原与卯辰巳
午长方积等【首率末率相乘与中率自
乗等】则申酉戌亥平圆积亦
必与丁戊己庚撱圆积相
等矣乃以己丁大径二千
万与戊庚小径一九九九
七一四三【小余六九六○三八二】相
乗得卯辰巳午长方积与
干坎艮震正方积等以方
与圆之比例定率七八五
三九八一六二五通之得
三一四一一四三九八二
八二三三七为申酉戌亥
平圆面积与丁戊己庚撱
圆面积等将申酉戌亥平
圆面积以三百六十度除
之得八七二五三九九九
五二二九为一度之面积
其形为分平圆面其两腰
皆为中率半径与乙申等
其弧其角皆为一度若将
丁戊己庚撱圆面积自甲
心亦平分为三百六十分
则其形为分撱圆面其两
腰自甲丁极短以渐而长
逐度俱不等其弧其角亦
不等然其每分之面积则
皆与一度之面积等故凡
分一段撱圆面积以一度
之面积为法而一则面积
即可以度分命之然后以
面积之度与角度相较而
平行实行之差出焉如以
甲为心以中率为半径作
平圆则甲巽丁分撱圆面
积为太阳距最卑后之平
行度与甲离申分平圆面
积等亦即与离甲申角等
巽甲离角为平行实行之
差其实行在平行前甲坤
己分撱圆面积为太阳距
最髙后之平行度与甲兑
戌分平圆面积等亦即与
兑甲戌角等兑甲坤角为
平行实行之差其实行在
平行后也
撱圆角度与面积相求
前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反覆参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图説详着于左
先设以角求积法如图甲
为地心乙为本天心甲乙
为两心差丙甲为倍差丁
戊己庚为本天丁为最卑
己为最髙设太阳在辛辛
甲丁角为实行距最卑后
六十度求甲辛丁分撱圆
面积平行若干度分先将
甲辛线引长至壬作丙壬
垂线成甲丙壬辛丙壬两
勾股形乃以半径一千万
为一率甲角六十度之正
八六六○二五四为二
率【丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等】丙
甲倍两心差三三八○○
○为三率求得四率二九
二七一六【小余五九】为丙壬边
又以半径一千万为一率
甲角六十度之余五○
○○○○○为二率丙甲
边为三率求得四率一六
九○○○为甲壬边次以
丙壬为勾自乗以甲壬与
甲辛丙辛两边和二千万
相加得二○一六九○○
○为股和除之得四二
四八【小余二五】为股较与股
和相加折半得一○○
八六六二四【小余一三】为丙辛
边与二千万相减余九九
一三三七五【小余八七】为甲辛
边即太阳距地心线次以
半径一千万为一率甲角
六十度之正八六六○
二五四为二率甲辛边为
三率求得四率八五八五
二三五【小余三○】即辛癸边次
以撱圆小径九九九八五
七一【小余八五】为一率大径一
千万为二率辛癸边为三
率求得四率八五八六四
六一【小余五八】即子癸边检正
得五十九度九分五十
三秒【小余六九】即乙角度亦即
子丁弧度次以半周天一
百八十度化作六十四万
八千秒为一率半圆周定
率三一四一五九二六【小余
五】为二率乙角度分化作
二十一万二千九百九十
三秒【小余六九】为三率求得四
率一○三二六二二五【小余
四七八四○○九】为子丁弧线与
乙丁半径一千万相乗折
半得五一六三一一二七
三九二○○五为乙子丁
分平圆面积次以撱圆大
径一千万为一率小径九
九九八五七一【小余八五】为二
率乙子丁积为三率求得
四率五一六二三七五三
六九二五四六为乙辛丁
分撱圆面积次以乙甲一
六九○○○与辛癸八五
八五二三五【小余三○】相乗折
半得七二五四五二八八
二八五○为辛乙甲三角
积【辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同
底同髙折半之积等】与乙辛丁积相
减余五○八九八三○○
八○九六九六即甲辛丁
分撱圆面积以一度之面
积定率八七二五三九九
九五二二九除之得五十
八度三三三四【小余八七】收作
五十八度二十分○秒三
十三微即实行距最卑后
六十度时之平行度也
又法求甲辛太阳距地心
线将甲辛线引长至壬使辛
壬与丙辛等又自丙至壬作
丙壬线成甲丙壬三角形此
形知丙甲倍两心差三三八
○○○知甲壬二千万知甲
外角六【甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛
等故甲壬亦二千万】十度用切线分
外角法求得壬角四十九分
五十三秒又求得丙壬边二
【小余三六】○一七一○八○次
将丙壬边折半【小余二九】于癸
作辛癸垂线成壬癸辛直角
形以半径一千万为一率壬
角正割线一○○○一○五
三为二率癸壬边一○○八
五【小余三五】五四○为三率求
得四率一○○甲辛【小余一四五】丙辛共二千万辛壬既与丙
八六六○二【小余六一】为辛壬
边与甲壬二千万相减余
九九一三三九七【小余三九】即
甲辛太阳距地心线也此
法所得甲辛线较前法多
二十二盖因壬角甚小比
例易差耳然其角度自不
爽故后借角求角之法则
用之且以甲为心以二千
万为半径作圜【如甲壬】又取
两心差之倍度截直径于
丙自丙出线至圜周【如丙壬】折半作垂线【如癸辛】所抵圜
径之即撱圆界【如辛】依
法逐度作连之即成撱
圆周以此发明撱圆之理
最为精巧故附于此
又设太阳在壬壬甲己角
为实行距最髙后六十度
求甲壬己分撱圆面积平
行若干度分则以半径一
千万为一率甲角六十度
之正八六六○二五四
为二率丙甲三三八○○
○为三率求得四率二九
二七一六【小余五九】为丙癸垂
线又以半径一千万为一
率甲角六十度之余五
○○○○○○为二率丙
甲边为三率求得四率一
六九○○○为甲癸分边
次以丙癸为勾自乘以甲
癸与甲壬丙壬两边和二
千万相减余一九八三一
○○○为股和除之得
四三二○【小余六六】为股较
与股和相加折半得九
九一七六六○【小余三三】为丙
壬边与二千万相减余一
○○八二三三九【小余六七】为
甲壬边即太阳距地心线
次以半径一千万为一率
甲角六十度之正八六
六○二五四为二率甲壬
边为三率求得四率八七
三一五六二【小余二五】即壬子
边次以撱圆小径九九九
八五七一【小余八五】为一率大
径一千万为二率壬子边
为三率求得四率八七三
二八○九【小余四二】即丑子边
检正得六十度五十分
三十一秒【小余八三】即乙角度
亦即己丑弧度次以半周
天一百八十度化作六十
四万八千秒为一率半周
率三一四一五九二六【小余
五】为二率乙角度分化作
二十一万九千零三十一
秒【小余八三】为三率求得四率
一○六一八九六二【小余七六
六一一一九】为已丑弧线与已
乙半径一千万相乗折半
得五三○九四八一三八
三○五五九为乙丑已分
平圆面积次以撱圆大径
一千万为一率小径九九
九八五七一【小余八五】为二率
乙丑己积为三率求得四
率五三○八七二三一○
九四七二二为乙壬已分
撱圆面积次以甲乙一六
九○○○与壬子八七三
一五六二【小余二五】相乗折半
得七三七八一七○一○
一二五为壬乙甲三角积
与乙壬己积相加得五三
八二五○四八一○四八
四七即甲壬己分撱圆面
积以一度之面积定率八
七二五三九九九五二二
九除之得六十一度六八
七七【小余七二】收作六十一度
四十一分一十五秒五十
八微即实行距最髙后六
十度时之平行度也若设
平行求实行亦可以所得
之平行转相比例然必累
求累较方得恰合【一率两设平行
较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实
行较】法属繁难故兹不载
次设以积求角之法如太
阳在辛甲辛丁分撱圆面
积为平行距最卑后一度
求甲角实行若干度分法
以甲丁最卑距地心九八
三一○○○【乙丁一千万减甲乙两心
差一六九○○○余甲丁】自乗得九六
六四八五六一○○○○
○○为一率中率半径九
九九九二八六自乗得九
九九八五七一八四八○
一九一【即大径与小径相乗之数】为二
率甲辛丁一度之面积八
七二五三九九九五二二
九为三率求得四率九○
二六六七七四二○○三
以一度之面积八七二五
三九九九五二二九除之
得一度二分四秒【小余三○】为
甲角度即平行距最卑后
一度时之实行度也盖以
甲为心以中率为半径作
弧将甲丁线引长至壬甲
辛线引长至癸则甲壬甲
癸皆为中率甲壬癸分平
圆面积与一度之面积为
比例即得甲角而甲辛丁
分撱圆面与甲壬癸分平
圆面为同式形【甲辛长于甲丁然为
数无多故为同式形】以甲丁自乗正
方积与甲壬自乗正方积
之比即同于甲辛丁积与
甲壬癸积之比【凡同式形两面积之
比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷
第九节】故先比例得甲壬癸
积以一度之面积除之而
得甲角也【捷法以甲丁自乗方积除甲壬
自乗方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率
相乗又以一度面积除今省一乗则并省一除也】又如太阳在子甲子丁分
撱圆面积为平行距最卑
后二度求子甲丁角实行
若干度分则先求平行距
最卑后一度时日距地心
之甲辛线将甲辛线引长
至丑自丙作丙丑垂线成
甲丑丙辛丑丙两勾股形
以半径一千万为一率甲
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