地一十畆
术曰以少广求之置广乘长半之为寄以广幂并从幂为中幂【按实大斜幂】以小斜幂并中幂减大斜幂【按实中斜幂】余半之自乘于上以小斜幂弃中幂减上余以四约之为实以一为隅开平方得数加寄共为积以每户给数除积得容民戸数
草曰置广一千九百
二十歩乘从三千六
百歩得六百九十一
万二千歩乃半之得
三百四十五万六千
歩为寄以广自乘得三百六十八万六千四百歩为广幂又以从自乘得一千二百九十六万步为从幂并广幂得一千六百六十四万六千四百步为中幂次以小斜一千八百二十歩自乘得三百三十一万二千四百歩为小斜幂又以大斜二千五百歩自乘得六百二十五万歩为大斜幂却以小幂并中幂得一千九百九十五万八千八百歩以大斜幂减之余一千三百七十万八千八百歩乃半之得六百八十五万四千四百歩自乘得四十六万九千八百二十七亿九千九百三十六万歩于上次以小斜幂乘中幂得五十五万一千三百九十五亿三千五百三十六万歩减上余八万一千五百六十七亿三千六百万为实以四约之得二万三百九十一亿八千四百万为实以一为隅开平方得一十四万二千八百歩并寄三百四十五万六千歩共得三百五十九万八千八百歩以畆法二百四十歩除之得一万四千九百九十五畆次以顷法一百畆约之为一百四十九顷九十五畆为地积又为实以每户所给一十五畆为法除实得九百九十九户不尽一十畆不及一戸所给数以为余地一十畆
蕉田求积
问蕉叶田一叚中长五百七十六歩中广三十四歩不知其周求积畆合几何
荅曰田积四十五畆一角【按六十歩为一角葢四分畆之一也】十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三
术曰以长并广再自乗又十乘之为实半广半长各自乘所得相减余为从方一为从隅开平方半之得积
草曰以长五百七十六歩并广三十四歩得六百一十两度自乘【按即自乘再乘】得二亿二千六百九十八万一千歩进一位即是以十乘之得二十二亿六千九百八十一万歩定得此数以为实置长五百七十六以半之得二百八十八自乘得八万二千九百四十四于上又置广三十四歩以半之得一十七自乘得二百八十九减上余八万二千六百五十五为从方以一为从隅开平方得二万一千七百四十二歩不尽一万四百二十六歩以商生隅入方又并隅算共得一十二万六千一百四十为母与不尽及开方田积数皆半之田积定得一万八百七十一步六万三千七十分歩之五千二百一十三以畆法二百四十约之得四十五畆一角一十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三
按此术以长与广相加自乘再乘又以十乘之为长方积以半长自乘半广自乘相减为长濶较求得阔折半为田积非法也此题中广甚小故得数较古法多七百余较密法少二千七百余若设长为七百零七广为二百九十三亦以此法求之长广相加自之再之又十乘之得一百亿为实半长半广各自之相减得十万零三千五百为长阔较求得阔折半得三万零四百二十六歩余为田积依宻法求之实十四万四千九百余歩所差甚逺其术之不合显然矣葢数必三乘而后可以平方求之今再乘之后仅以十进之宜其不可用也
漂田堆积
问三斜田被水冲去一隅而成四不等直田之状元中斜一十六步如多长水直五歩如少濶残小斜一十三歩如残大斜二十歩如元中斜之横量径一十二歩如残田之广又如元中斜之勾亦是水直之股欲求元积残积水积元大斜元中斜二水斜各几何
荅曰元积一百三十八歩一十一分歩之八水积一十二歩一十一分歩一八【按应一十三歩一十一分歩之七】
残积一百二十六歩
元大斜二十九歩一十一分歩之一
元小斜一十八歩一十一分歩之一【按应一十一分歩之十】水大斜九歩一十一分歩之一
水小斜五歩一十一分歩之一【按应一十一分歩之一】
术曰以少广求之连枝入之又勾股入之置水直减中斜余为法以中斜乘大残为大斜实以法除实得元大残以残大斜减之余为水大斜以法乘径又自之为小斜隅以水直幂并径幂为幂又乘径幂又乘中斜幂为小斜实与隅可约约之闭连枝平方得元小斜以残小斜减之余为水小斜以水直乘之为水实倍水小母为法除之得水积【按此处法踈】以水直并中斜乘径为实以二为法除之得残积以残积并水积共为元积分者通之重有者重通之
草曰以水直五减中
斜一十六余一十一
为法以中斜一十六
乘大残二十得三百
二十为大斜实以法
除之得二十九歩一
十一分歩之一为元大斜内减残大斜二十歩余九歩一十一分歩之一为水大斜以法一十一乘径一十二【按乘径可省】得一百三十二自之得一万七十四百二十四为小斜隅以水直五自乘得二十五为水直幂以径一十二自之得一百四十四为径幂并水直幂得一百六十九为幂以乘径幂【按此乘径幂亦可省葢以此乘复以此除徒为多筭耳】一百四十四得二万四千三百三十六于上又以中斜一十六自乘得二百五十六为中斜幂以乘上得六百二十三万一十六为小斜实开平方与隅求等得一百四十四俱约之实得四万三千二百六十四隅得一百二十一开方不尽以连枝术入之用隅一百二十一乘实四万三千二百六十四得五百二十三万四千九百四十四为定实以一为定隅开平方得二千二百八十八为实以约隅一百二十一除之得一十八歩不尽一百一十一【按一百一十整】与法一百二十一俱以一十一约之得一十一分歩之十为元小斜减残小斜一十三歩余五歩一十一分歩之一【按十讹一故下数误】为水小斜通歩内子得五十六以水直五歩乘之得二百八十为水实倍水小母一十一得二十二为法除之得一十二歩不尽一十六与法俱以二约之为一十二歩一十一分歩之八【按应一十二歩一十一分步之七】水积置中斜一十六并水直五得二十一乗径一十二得二百五十二以半之得一百二十六为残积以水并积共得一百三十八歩一十一分歩之八为元积【按应一百三十九步一十一分步之七】
数学九章卷三上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>
钦定四库全书
数学九章卷三下宋 秦九韶 撰田域
环田三积
问环田大小圆田共三段环田外周三十步虗径八步大圆田径一十步小圆田周三十步欲知三田积及环田周通实径大圆周小圆径各防何
答曰环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五通径九步一十九分步之九 实径一步一十九分步之九 内周二十五步一十七分步之五
大圆田积七十九步五十三分步之三 周三十一步二十一分步之十三
小圆田积七十一步二百八十六分步之四十三 径九步一十九分步之九
术曰以方田及少广率变求之各置圆环径自乗为幂进位为实以一为隅开平方得周各置环圆周自乗为幂退位为实以一为隅开平方得径以周幂或径幂乗各实以一十六约之为实以一为隅开平方得圆积置环周幂乘径实十六约之为大率置虚径幂乗内周实十六约之为小率以二率相减之余以自乗为实并二率倍之为从上亷一为益隅开三乗方得环积置环周自乗退位为实一为隅开平方得通径以虚径减通径余为实径其有开不尽者约而命之
草曰置大圆径一十步自乗得一百为径幂进位得一千为实以一为隅开平方得三十一步不尽三十九为分子乃以隅生方又益隅共得六十三为分母以分子与母求等得三俱以三约之母子得二十一分步之一十三为大圆周三十一步二十一分步之一十三次以径幂一百乗前实一千得一十万以十六约之得六千二百五十为实以一为隅开平方得七十九步不尽九为分子乃以隅生方又增隅得一百五十九为分母以分子母求等得三俱以三约母子得五十三分步之三为大圆积七十九步五十三分步之三次置小圆田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为径实以一为隅开平方得九步不尽九以隅生方又益隅得一十九步之九为小圆径九步一十九分步之九次以周幂九百乗前实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为实以一为隅开平方得七十一步有不尽数二十一步五分为子以隅生方又益隅得一百四十三为分母以分子母求等得五分俱约之得二百八十六分步之四十三为积次置环田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为实以一为隅开平方得九步不尽九为分子以隅生方并隅得一十九为分母直命之为环田通径九步一十九分步之九次以环周幂九百乗环实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为大率次置环田虗径八步自乗得六十四为虗幂进位得六百四十为实以一为隅开平方得二十五步不尽一十五为分子以隅生方又并隅得五十一为分母与子求等得三俱约之得一十七分步之五为环田内周二十五步一十七分步之五次以虗幂六十四乗周实六百四十得四万九百六十以十六约之得二千五百六十为小率以小率减大率余二千五百二步五分自乗得六百二十六万二千五百六步二分五厘为实以大小二率并之得七千六百二十二步五分倍之得一万五千二百四十五为从上亷以一为益隅开玲珑三乗方得二十步不尽三十二万四千五百六步二分五厘为分子续啇无数乃以益隅一益下亷八十并之得八十一为减母次以从上亷一万二千八百四十五并从方五十七万七千八百得五十九万六百四十五以母八十一减之余五十九万五百六十四为分母以分子求等得二分五厘俱约之得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五次置环田通径九步一十九分步之九以虚径八步减之余一步一十九分步之九为环田实径合问
按周径相求以进位退位为实者盖以径一周三有竒径一自之仍得一周自之略与十等故径幂升一位为周幂周幂降一位为径幂以省算亦法之巧者其径求周较宻率约大一百五十七分之一周求径约小一百五十九分之一然较古率则已宻矣其周幂径幂相乗十六约之开平方得圆积者盖周径相乗四归得圆积径自乗为方积故四归亦展为自乗十六之数约之得四分径之幂乗周幂之数故开方得圆积至求环积与前求尖田积同但彼立天元一为两积之和此立天元一为两积之较耳其式如左
法立天元一为环田积即内外两圆积之较自之得一平方为较自乗以大小率【即二圆积各自乗】并而倍之得一万五千二百四十五步内减较自乗得一万五千二百四十五步少一平方为和自乗与较自乗再相乗得一万五千二百四十五平方少一三乗方寄之次以大小率相减余二千五百零二步五分为和较相乗再自之得六百二十六万二千五百零六步二分五厘与寄数等即为实寄数内平方数即从上亷三乗方数即益隅
此圗照问列位以后照草运算
乃先置次大径以上副自乗得中以中进位为次实以一为下隅
凡九变至此得大圆径次求大圆积
上副自乗得中以次约之得下为实
凡十一变至此得大圆积次求小圆径
一十一变得小圆积次求环田通径当求环田通径盖环田之外周三十步与小圆田外周同则不遇与前七变诸圗一理兹不复繁乃求实径
凡九变得环田内周次求环积
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
开三乗方凡二十变至此得环田积数
求实径但以虚径减通径余一步一十九分步之九为环田实径
均分梯田
问户业田一段若梯之状南广小三十四步北广大五十二步正长一百五十步合系兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形难分经官乞分南甲乙北内欲知其田共积各人合得田数及各段正长大小广防何
答曰田共积二十六畆二百一十步
甲得八畆三角五十步 小广三十四步系元南广 大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四大约百分步之八十九 正长五十七步二千四十五分步之 百五十三大约一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步 小广同甲大广大广四十六步八万四千八百二十六亿
八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三计大率约百分步之七十七分半强 正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九大约百分步之四分九厘
丙得八畆三角五十步 小广同乙大广大广五十二步系元北广 正长四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万
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