用丨除两次甚属易简即遇数不尽者以通分御之加一二次乗除可以乃必增至十余次多者始欲穷数之变就一题以为诸法之例非徒为繁难也试依术内逓次乗除之数逐条细论之
出竿【甲庚】乗髙防【甲乙】为段去址【乙丙】乗段为阔率【原名阔泛约之为阔率今即为阔率】为去址乗防髙出竿长幂之数阔率自乗为阔幂即如去址幂乗防髙出竿长幂自乗之数又即如去址幂乗防髙幂又乗出竿幂之数
岸髙【丙丁】乗段为浅率【原名浅泛约之为浅令即浅浅率】为岸髙乗防髙出竿长幂之数浅率自乗为浅幂即如岸髙幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如岸髙幂乗防髙幂又乗出竿幂之数
并阔幂浅幂为浅幂为竣幂 【乙丁】幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如小斜幂乗防幂又乗出竿竿幂之数
阔幂峻幂相乗为上数即如小斜幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数
阔率浅率相乗为寄数即土去址岸髙相乗又乗防髙幂又乗出竿幂之数
去址目髙【己庚】相乗为约率即如出竿乗壬辛
台髙乗阔率即如去址乗台髙幂又乗出竿之数又以约率乗之即如去址壬辛相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之数内减寄数余去址壬乙相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之再自乗之隅数即如壬乙幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数
上数隅数内去址幂台髙幂自乗出竿幂自乗各数皆同则用上数乗隅数除即如用小斜幂乗壬乙幂除矣以防髙幂乗上数若以隅数除之即得竣斜【乙戊】幂但数不能尽故约之带隅数开平方所谓连枝同休法也至阔泛浅用于乗数约泛用于除数故可两邉同约又为省算也求水立深同此
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
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陟岸测水
问行师遇水须计篾防搭造浮桥今垂绳量陟岸髙山丈人立其上欲测水面六阔以六尺为矩平持去目下五今矩本抵颐遥望水彼岸与矩端岸相合又望水此岸沙际入矩端三尺四寸人目髙五尺其水面阔几何
答曰水阔二十三丈四尺六寸【按应二十三丈八尺】
术曰以勾股重差求之置短去目下寸为法以人目并岸髙减去法【按减法误】余乗人矩端为实如法而一得水阔陡岸测水圗【按旧圗画岸水视緑不能在术前令改正移于此】
草曰置矩本去目下五寸
为法以入目髙五尺并岸
髙三丈得三丈五尺通为
寸得三百五十寸减去五
寸余三百四十五寸乗沙
际入矩端三十四寸得
一万一千七百三十寸为实实如法五寸而一得二千三百四十六寸展为二十三丈四尺六寸为水阔合问
按测望诸线皆合于人目之一防其髙正当自人目计之今减去人目距矩自矩下计之不得其理矣
表望方城
问敌城不知广逺傍城南山原林间房之林际有木二株南北相去一百六十步遥与城东方面参相直乃于二水之东相对立两表表间与木四方平人目以绳维之人自东后表向西行一十步望城东北隅入东前表一十五步又望城东南隅入东前表四十八歩强半歩里法三百六十欲知其方广及相去几何答曰城东广各一十二里三百二十步城去木
九里三百二十歩
按答数皆误今推得城方广各一十一里二百二十歩又三十一分步之二十城东南隅至北木一里九十九歩又三十一分歩之一十二
术曰以勾股重差求之置城东南隅景入表减表间余乗表间为城去木寔以西方歩减城东北隅景入表余为法【按此句法误】得城去木数以城东北隅景入表减表间余乗表间为广实实如前法而一得城广【按此所得乃城东北隅至前木之逺以为城广数误也】
表望方城图【按旧图画城南二木与城东面不城一直线在术前今改正移于此】
草曰以西行一十步减东
北隅入表一十五步余五
歩为法以城东南隅景入
表四十八步七分半减表
间一百六十步余一百一
十一歩二分半乗表间一
表六十歩得一万七千八百为城去木寔以法五歩除之【按误同上】得三千五百六十歩以里
法三百六十约之得九里三百二十步为城去木里及步数 次置城东北隅京十表一十五步减表间一百六十余一百四十五歩乗表间一百六十得二万三千二百为减实以以前法五步除之得四千六百四十歩以里法三百六十约之为一十二里三百二十歩即城方广里及歩数【按误亦同上】合问
按此题之要在二本与城东面成一直面方城与表木方形各邉俱平西行减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表间表间之表与城东南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故术草中第二求以城东北隅入表减表间之余乗表间为实以西行步减城东北隅入表之余为法除实是也但所得为城东北隅至前木之逺以为城广则误矣又西行步减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表减表间之较与城东南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城东南隅入表减表间之余乗表间为实应以西行步减城东南隅入表之为法除之即得城东南隅之前木之逺术草中以西行步减城东北隅入表之余为法故得数大七倍余既得城东面南北二隅距前木之逺则相减为城广可知矣
遥度城
问有圆城不知周径四门中开北外三里有乔木出南门便折东门九里乃见木欲知城周径各几何【圆用故法】答曰径九里 周二十七里
术曰以勾股夕桀求之一为从隅五因北外里为从七亷置北里幂八因为从五亷以北里幂为正率以东行幂为负率二率差四乗北里为益从从三亷倍负率成五亷为益上亷以北里乗上亷为实开玲珑九乗方得数自乗为径以三因径得周
遥度圆城【图旧图画城挂在术前今删改移于此】
草曰以一为从隅以五因
北三里得一十五里为从
七亷以北三里自乗得九
里为正率以八因率得七
十二为从五亷以西行见
里自乗得八十一为负率以正率九减负率余七十二位负差以四因之得二百八十八以乗北三里得八百六十四系负差所乗者为益三亷倍负率八十一得一百六十二乗五防七十二得一万一千六百六十四为益上亷以北三里乗上亷得三万四千九百九十二为实置实亷隅玲珑空隅位方亷以约实众法不可超进乃于实上定商三里其隅与商相生得三为从下亷又与商相生入从七亷共得二十四为星亷又与商相生得七十二为从六亷又与商相生入五 内共得二百八十八又与商相生得八百六十四为从四亷又与商相生得二千五百九十二为正三亷内消益三亷八百六十四讫余一千七百二十八为从三亷又与商相生得五千一百八十四为从二亷又与商相生得一万五千五百八十二为从上亷内消益上亷一万一千六百六十四讫余三千八百八十八为正上亷又与商相生得一万一千六百六十四为从方乃命上商三里除实适尽得三里以自乗之得九里为城圆径之里数又以故法圆率三因之得二十七为城周
以上求率图以后开方图实与益皆负画黑商与从皆正画朱
按商实负字旁书已明今皆用黒
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
按凡勾股难题用立天元一法取之多至三乗方而至元李冶测圆海镜一百七十问仅一题取至五乗方犹自以为烦此题非甚难者乃取至九乗方盖未得其要也细校术草中亷隅积实之数与立天元一法自然相生者廻殊且凡立天元一法开方后未有不得所求之数者今得数自乗始为所之数尤于古人立法之意不合爰另立取法并歩算之式于后
法立天元一为圆城径加三里得三里多一元为大股自之得九里多六元多一平方为大股幂九里为大勾自得之八十一里为大勾幂相并得九十里多六元多一年方为大幂又以大股为小勾和三里为小勾较和较相乗得九里多三元为小股幂二分天元之一为小勾加小勾三里得三里多二分元之一为小自得之九里多三元多四分平方之一为小幂乃以小幂与大股幂相乗得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又以大幂与小股幂相乗得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方与寄数等両邉各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乗方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元与七百二十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方九平方九百七十二元与二千九百一十六里等乃以里数为实以元数为益方平方数为从上亷立方数为从下亷三乗方数为隅开帯纵三乘方得九里为城径开方式附后
法列寔及方亷隅数约商九
里乃以隅生商得九入下亷
得一十五又以下亷生商得
一百三十五入上亷得一百
四十四又以商生上亷得一
千二百九十六以消益方得二百二十四为从方以商生从方得二千九百一十六减实恰尽为开得三乘方为九里即城径也
数学九章卷四上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>
钦定四库全书
数学九章卷四下 宋 秦九韶 撰
测望
望敌圆营
问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆邉参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各防何答曰营周六里一百二步七分步之六 径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九
术曰以勾股夕桀求之置表间自乗为勾幂以退表自乗为股幂并二幂为幂置里通步自之乗勾幂为率自乗为泛实【按此数当即为实开从方今不开平方乃以 此数自乗并以此数升他数开从三乗方不合】半幂乗率为泛从上亷【按半幂即半自乗又倍之之数】以勾幂减股幂余四约之【按此即半勾半股各自乗相减之数】自乗为泛益隅【三泛可约之为定】开连枝三乗玲珑方得营径以密率二千二乗七除为周
草曰置表间二步自乗得四为
勾幂以退表一十二步自乗得
一百四十四为股幂以勾股二
幂并之得一百四十八为幂
置七里以里法三百六十步
通之得二千五百二十步自乗
得六百三十五万四百乗勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乗得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半幂得七十四乗率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷以勾幂四减股幂一百四十四余一百四十以四约之得三十五以自乗得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五【按即泛益隅】俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上亷一为定益隅开玲珑三乗方乃以亷隅超二度约啇置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下亷又以上啇生益亷减从亷余一百四亿四千四百六十四万为从上亷又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实余一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷又以上啇生益亷得益上亷减从亷余六亿四千四百六十四万为上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下亷得二十一亿又以上啇生下亷为益上亷减从亷余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上亷减从方余七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乗七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周
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