,卷四下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>
按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乗开三乗方徒为繁冗耳且乗从亷用半自乗之倍数乗隅数应用半股自乗之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乗数小一半勾自乗数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾较和相乗得较三十五为大股幂大勾里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乗之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疎可知矣设用平方法如左
法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾和相减得二千五百二十步少一元为大勾较和较相乗得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小幂以小幂乗大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乗大幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步【即术中率数】与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乗之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六 分为大勾和分数二数相减余三 七九七二八分为大勾较分数和较分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六 五九一六自之得三六七一三四一九九 五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二 分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步余营径当多四步不足也
望知敌众
问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒占地方八尺我军在水南山原于下立表髙八丈与原山腰等平自表端引防虚量平至人足三十步人立其处望彼营北陵与表端参合又望营南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圆密率入重差求敌众合得防何
答曰敌众八百四十九人
按数不合应二百七十三人其故详草后
术曰以勾股乗之置人退表步【按此条误法应置表髙】乗入表为实以人目髙为法除之得径以密周率乗径得数为实以密径率因人立为法约之得外周人数余収为一副置加六以乗副得数为实如一十二而一余亦収为全
望知敌众图【按旧图畵山水在术前今删改移于此】
草曰置人立退表三十步以步
法五尺展为五十寸通之得一
千五百寸乗入表八尺得一十
二万寸为实
以人目髙四十八寸为法除之
以密率周法二十二乗径二千五百得五万五千寸为实
以密率径法七因谍称人立八尺得五百六十为法
以法五百六十寸约实五万五千寸得九十八人为外周人数不尽一百二十寸弃之
副置外周九十八人加六得一百四人乗副为实
按此术应置表髙加人目髙以入表弃之误置退步以入表乗之故人数差多二倍盖思省偶未至耳至求人数先用密率次用束箭法亦未尽合题问今依其数各步于后
求营径置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乗之得六万七千八百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一为营径盖以表髙加人目髙为大股营径为大勾较人目髙为小股入表为小勾较置大股以小勾较乗之以小股除之即得大勾较也
求人数用密率置径为实倍每人占地八尺得一十六尺为法除实得八为外层数加最内一层得九为共层数余一十三尺三寸又三分寸之一为最内径以最内径与最外径【即营陉】相加以九层乗之折半得六百九十六尺为九层共径数以密周率二十二乗之得一万五千三百一十二尺为实以密率七乗每人占地八尺得五十六尺为法除之得二百七十三人余三尺又七分尺之三弃之此法应先求得内外圆周再求九层共周数今先求九层共径数然后变为圆周其理一也
望敌逺近
问敌军处北山下原不知相去逺近乃于平地立一表髙四尺人退表九百步【步法五尺】遥望山原适与表端参合人目髙四尺八欲之敌军相去防何
答曰一十二里半
术曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙减之余为法置退表乗表髙为实实如法而一
草曰置人目髙四尺八寸减表
髙四尺
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