勇夜算军书先计攸重我闻在昔轻则寡谋殄民以幸亦孔之忧述军旅第八 日中而市万民所资贾贸墆鬻利析铢锱蹛财役贫封君低首豕末兼并非国之厚述市易第九
钦定四库全书
数学九章卷一上宋 秦九韶 撰大衍
按大衍术以各分数之竒零求各分数之总数大而天行小而物数皆可御之其法有求元求定求术求竒求乘求用之目大约以数之竒偶为根而以诸数相度之尽不尽为用有求彼此不能度尽之诸数者元数定数是也有求诸数皆能度尽之一数者衍母数是也有求诸数皆能度尽而一数不能度尽之数者各衍数是也其不尽之数即竒数也有求二数相度余一之数者乘数是也有求二数相度余一而诸数又能度尽之数者用数是也求元数定数初与约分法相似终变二数务使其等数为一盖以一为等数始能度尽二数是他数俱不能度尽二数而二数相度益不能尽也以定数竒数求乘数之法名曰大衍求一中有立天元一于左上之语下载立天元一算式按立天元一法见于元郭守敬之厯源李冶之测圆海镜及四海之借根方者皆虚设所求之数为一与所有实数反覆推求归于少广诸乘方得其积数与边数或正负亷隅数而止次用除法或开方法得所求数此数命定数为一与竒数反覆商较至余一实数而止其竒数所积即为乘数盖其用不同而法则无二也然其极和较之用穷竒偶之情则有为元法西法所未及者但原本法解烦杂图式譌舛今详加改定并释其义俾学者易见焉
大衍数术
大衍总数术曰置诸问数【类名有四】一曰元数【谓尾位见单零者本门揲蓍酒息斛粜砌甎失米之类是也】二曰牧数【谓尾位见分厘者假令冬至三百六十五日二十五刻欲与甲子六十日为一会而求积日之类】三曰通数【谓诸数各有分子母者本门问一会积年是也】四曰复数【谓尾位见十或百及千以上者本门筑隄并急足之类是也】
按此言问题有是四类
元数者先以两连环求等约竒弗约偶【或约得五而彼有十乃约偶而弗约竒】或元数俱偶约毕可存一位见偶或皆约而犹有类数存姑置之俟与其他约徧而后乃与姑置者求等约之或诸数皆不可尽类则以诸元数命曰复【按复应作定】数以复【按同上】数格入之
按此以元数求定数法也连环求等者于诸数中逐次取二数相度得一数可以度尽者为等数为法只约一数约竒弗约偶专为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒而等数为五与十者又有或约竒或约偶者矣皆约而犹有类俟约徧求等约之者逐条两两取约毕犹有二数可约者求得等数为续等【见后】续等约一数必复乘一数盖等数为二数之较【或二数展转之较】可约续等乃已约之较不可约不可约而两数又不可使有等故约一数乘一数犹之不约也术内未详
收数者乃命尾位分厘作单零以进所问之数定位讫用元数格入之或如意立数为母收进分厘以从所问用通数格入之
按收数者单位下有竒零之数也进位者以竒零之末位为单位也若立分母通之反不如用原数为简
通数者置问数通分内子互乘之皆曰通数求总等不约一位约众位得各原法数用元数格入之或诸母数繁就分从省通之者皆不用元各母仍求总等存一位约众位亦各得原法数亦用元法数格入之
按通数与收数相似但单数有分母竒零为分子耳通分纳子即进尾数为单位之义因加互乘一次故加总等一约然后为元数也
又按求总等不拘通数复数但题中有三数可以一等数度尽者即可用总等法存一数约众数然后为元数凡度之后等数仍可约者此数必当存之
复数者问数尾位见十以上者以诸数求总等存一位约众位始得元数两两连环求等约竒弗约偶复乘偶或约偶或约竒复乘竒【按此四语有误应作约竒弗约偶复乘偶或约偶弗约竒弗乘竒然皆续等下用之此处可省】或彼此可约而犹有类数存者又相减以求续等以续等约彼则必复乘此乃得定数所有元数收数通数三格皆有复乘求定之理悉可入之按复数者诸问数皆至十或百或千而止也右各叚皆云以某格入之此又云三格悉可入之大约古算必有其程式也
求定数勿使两位见偶勿使见一太多见一多则借用繁不欲借则任得一
按勿使两位见偶者盖众数连乘中有两偶数则所得总数以一偶数除之必仍得偶数不能求余一之乘数也勿使见一太多见一多则借数繁者盖见一多因数本如此且见一即不必推乃云勿使太多又云借数皆涂人之耳目也故曰不欲借则任得一
以定相乘为衍母以各定约衍母得各衍数【或列各定数于右行各立天元一为子于左行以母互乘子亦得衍数】诸衍数各满定母去之不满曰竒以竒与定用大衍求一入之以求乘率【或竒得一即为乘率】按诸定数连乘为衍母即为诸定数皆能度尽之数亦为总数最大之限凡总数在限内者各定数之差皆不等若过限外则各定数之差有与限内相等者其两总数之差必为衍母之倍数各衍母者即诸数度尽一数度不尽之数也竒数者定数度衍数不尽之数也定数原为彼此不能度尽之数衍数为他定数连乘之数以此一定数度之必不能尽也
大衍求一数云置竒右上定居右下立天元一于左上先以右上除右下所得商数与左上一相生入左下然后乃以右行上下以少除多递互除之所得商数随即递互累乘归左行上下须使右上末后竒一而止乃验左上所得以为乘率或竒数已见单一者便为乘率【按此二语重上】
按此以定数竒数求乘数也其法必使以定数度竒数仅余一数而竒数之倍数即乘数也置竒右上定右下者初次以定为实竒为法也立天元一于左上者以一为竒之倍数也得商数与左上相生入左下者以竒商定得商数即竒之倍数以乘天元一而书于下也随以竒数与商数相乘以减定数为余实次以竒为实减余为法置前左下于左上以法约实得商乘左上又并前之左上为左下随以法乘商减实又为余实次又以前余为实次余为法置前左下于左上得商数乘左上又倂前左上为左下随以法乘商减实如此展转相求合两次为一算至余实一乃视左下天元数即乘数也若未至两次余实一者仍以一为法上余数为实实二则商一实三则商二如上求之复得余一其天元数方为乘数原文递互乘除之语未详
置各乘率对乘衍数得泛用并泛课衍母多一者为正用或泛多衍母倍数者验元数竒偶同者损其半倍【或三处同类以三约衍母于三处损之】同衍母者为无用当验元数同类者而正用至多处借之以元数两位求等以等约衍母为借数以借数损有以益其无为正用或数处无者如意立数为母约衍母所得以如意子乘之均借补之或欲从省勿借任之为空可也
按此求各用数法也其各乘率乘各衍数得用数者即一数余一诸数度尽之数也其云并泛用过衍母倍数验元数同类损之此语似有误当云验问数同偶而用数相并过衍母者损之盖取用皆问数非元数也凡偶数减偶仍余偶减竒仍余竒其数有定竒数减竒则余偶又或余竒减偶则余竒又或余偶其数无定故惟偶数可验也定数一者即无用数必虚为借数未免徒滋烦扰
然后以其余各乘正用为各总并总满衍母去之不满为所求率数
按此既得各用数以题中所问之竒零求总数也以各余数乗各用数者盖用数为诸数度尽一数余一之数以几数乘之必为诸数度尽一数余几数之数也并各条而以各数度之必各数仍余几数也余数悉合则总数必合矣然衍母为诸数度尽之数累加一衍母众余数皆不变故满衍母去之得在衍母内者其数最小为第一数若大于此数者递加一衍母数无不合者
按右大衍本法也原书入于蓍防发防题问荅之后殊失其序今修冠于卷首
蓍卦发防
问易曰大衍之数五十其用四十有九又曰分而为二以象两卦一以象三揲之以四以象四时三变而成爻十有八变而成卦欲知所衍之术及其数各几何按揲蓍之法载于易传啓言之甚明算术以竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法则过矣
荅曰衍母十二衍法三
一元衍数二十四二元衍数一十二三元衍数八四元衍数六 已上四位衍数计五十一楪用数一十二二楪用数二十四三楪用数四四揲用数九 已上四位用数四十九
按此附会五十四十九之数与本衍已牵强不合观后可知
水火木金 【始此四数以揲】
隂阳象数图
老阳 少隂少阳 老隂【终此四者为爻】
按此条与数无取义可删
本题术曰置诸元数两两连环求等约竒弗约偶徧约毕乃变元数皆曰定母列右行各立天元一为子列左行以诸定母互乘左行之子各得名曰衍数次以各定母满去衍数各余名曰竒数以竒数与定母用大衍术求一【大衍求一术云以竒于右上定母于右下立天元一于左上先以右行上下两位以少除多所得商数乃递互乘归左行使右上得一而止左上为乘率】得各乘率以乘衍数各得用数验次所揲余几何以其余数乘诸用数并之名曰总数满衍母去之不满为所求数以为实易以三才为衍法以法除实所得为象数如实有余或一或二皆命作一同为象数其象数得一为老阳得二为少隂得三为少阳得四为老隂得老阳画重爻得少隂画拆爻得少阳画单爻得老隂画交爻凡六画乃成卦
按此即前大衍法末以三归取爻象亦属附会
草曰一二三四列右行立天元一列左行
元数右行
天元左行
以右行一二三四互乘左行异子一弗乘对位本子各得衍数
元数右行
上 副 次下
衍数左行 并之得五十
乃并左行衍数四位共计五十故易曰大衍之数五十算理不可以此五十为用葢分之为二则左右手之数竒偶不同见隂阳之伏数必须复求用数先名此曰衍数以为限率遂乃复以一二三四之元数求等数约定按前术以两两相连环求等约之先以一与二求等一与三求等一与四求等皆得一各约竒弗约偶数不变次以二与三求等亦得一约竒弗约偶数亦不变及以二与四求等乃得二此二只约副数二变为一而弗约四次以三与四求等亦得一约竒亦不变所得一一三四各为定数母列右行仍各立天元一为子列左行
定母右行
天行左行
以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不对乘本子毕左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍数
定母右行 以右定母满去左
衍数左行 衍衍余各为竒数
次以各母去衍数其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三则不满便以三为左下竒数
定母右行
竒数左行
凡竒数得一者便为乘率今左下衍是三乃与本母四用大衍求一术入之列衍竒三于右上定母于右下立天元一于左上空其左下
【衍 定 商竒 母】
【天元】
先以右上少数三除右下多数四得一为商以商一乘左上天元一只得一归左下其右下余一
【商 衍 定母竒 余】○
【天 归元 数】
次以右下少数一除右上多数三须使右上必竒一算乃止遂于右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定余一除之右衍余一
【商 衍竒 定母余余】
【天归元数】
次以商二与左下归数相乘得二加入左上天元一内共得三
今验右上衍余得一当止乃以左上三为乘率与前三者乘率各一与衍定图衍数对列之通计三行
定母
衍数
乘率
以乘率对乘左行毕左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用数
定母衍母
泛用
次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母复推元用等数二约副母二为一今乃复归之为二遂用衍母一十二益于左副一十二内共为二十四
元数
定用
今验用数图右行之一二三四即是所揲之数左行一十二并二十四及四与九并之得四十九名曰用数用为蓍草数故易曰其用四十有九是也
假今用蓍四十九信手分之为二则左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍数近大衍五十非四十九或五十一不可二数信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之数始有左副二十四内益十二就其三十七泛为用数但三十七无意义兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之数欲得一二三四岀于无余必令揲者不得知故以四十九蓍分之为二只用左手之数假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃径挂一故易曰分而为二以象两挂一以象三次后又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故归奇于防又令之以三三揲之其三十三必奇三故归奇于防又令之以四四揲之又奇一亦归奇于防与前挂一并三度揲通有四防乃得一一三一其挂一者乘用数图左上用数一十二其二揲防一者乘左副用数二十四其三揲
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
