母相乗得三千六百为衍母以各定约衍母为衍数甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百
术数各满衍母去之不满为竒数甲得一十九乙得一丙得四
以各竒数与定母用大衍入之各得乘数甲得四乙得一丙得七各为乗率列右行
以乗率对乘寄左行衍数甲得五百七十六乙得二百二十五丙得二千八百各为用数
次置甲申末到者其酉初为夜此是甲以全日到为无余里次置乙于未正到乃于卯时数至未正得四个半时以四半乗乙行二百四十里得一千八十为实以画六时约之得一百八十里为乙行不及全日之余里次置丙于辰未到自卯初数至辰未得二时以因丙行一百八十里得三百六十为实以六时除之得六十里为丙行不及全日之余里
以乙余一百八十乗乙用二百二十五得四万五百于中以丙余六十乗丙用二千八百得十六万八千加中共得二十万八千五百为总满衍母三千六百去之不满三千三百里为军前至都里以甲三百除之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四时半以丙一百八十除之得一十八日二时合问按凡总等数必小于连环等数若甚大即为连环等数此题数是也故再约即用求续等法不然不能合也
程行相及
问有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙日行二百里先差丙徃他处下文字旣两日又有文字遣乙追付已半日复有文字续令甲赶付乙三人偶不相及乃同时俱至彼所先欲知乙果及丙甲果及乙得日并里次问彼处去此里数各防何
按题意谓三行迟疾不同乙后丙两日甲后乙半日问防日防里可以追及又旣及之后三人不能同行及各至彼处之时刻皆与各起程之时刻相同盖言自此至彼所行皆为整日数也
答曰乙果追及丙八日行二千里 甲果追及乙二日半行七百五十里 彼处去此三千里
术曰以均输求之大衍入之置乙己去日数乗乙行里为实以甲乙行里差为法除之得甲及乙日数辰刻以乗甲行得里次置丙旣去日乗丙行里为实以丙乙行里差为法除之得乙及丙日数以乗乙行得里然后置三人日行求总等约得原数以连环求等约得定母以定相乗得衍母各定约衍得衍数满定去衍得竒竒定大衍得乗率以乗寄衍得用数视甲及乙里为乙率乙及丙里为丙率以乙日行满去乙率不满为乙余以丙日行满去丙率不满为丙余以二余各乗本用并之为总满衍去之不满为彼去此里
草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二十五里为实次置甲日行三百里减去乙行二百五十里余五十里为差法除实得二日五十刻甲果及乙数以乗甲行三百里得七百五十为甲及乙里数次置丙既行二百乗丙日二百里得四百里为实次置乙行二百五十里减丙行二百里余五十里为差法除实得八百为乙及丙日数以乗乙行二百五十里得二千里为乙得及丙之里数已上为先欲知果及数次列甲乙丙三名日行求总等得五十先约甲丙存得甲六乙二百五十丙四
以甲六丙四求等得二以二约甲为三复以二因丙为八次将乙二百五十与丙八相约得二乃约乙为一百二十五复以二因丙为十六定得甲三乙一百二十五两十六为定母
以定相乗得六千为衍母以各定约衍母得衍数甲得二千乙得四十八丙得三百七十五求竒数
左上二千以甲三去之竒二左中四十八即为乙竒左下三百七十五丙十六去之竒也
各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各为乘率
以乗率对乗衍数甲得四千乙得五千三百七十六丙得二千六百二十五为泛用数
并三泛得二万二千一乃多衍母一倍当半衍母六千得三千以消甲四千余一千又消乙五千三百七十六余二千三百七十六丙不消各为定用数
既得用数次视前草中甲及乙七百五十里为乙率乙及丙一千里为丙率各满乙丙日行里去之
今乙丙二人所行各皆适满去之无余虽称同时俱至乃各系全日所行便以乙丙二人约六千里得三千里为彼去此里数合问
按复数求元数用总等法尚属未密盖总等约后有当连环求等者有当即求续等者其法不能定也今少为变通凡复数皆见十者先以十为总等徧约之【百千万同】为元数俟连环求等毕复以总等十乗一数【百千万同】然后再求续等以得定数爰依题数具式于后
法列三数于上以十为总等徧约之得甲三十乙二十五丙二十即为元数连环求等以甲与乙约得等数五【竒】约甲得六【偶】以甲与丙约得等数二【偶】约甲得三【竒】为甲数徧约毕次以乙与丙约得等数五【竒】约丙得四【偶】为乙丙二数徧约毕乃以总等十乗乙数得二百五十次求续等以甲与乙与丙相约俱无续等以乙与丙约得续等二【偶】约乙数得一百二十五【竒】复乗丙得八则甲三乙一百二十五丙八即为各定数也以三定数连乗得三千为衍母即所问彼处去此之里数较旧术算省而数亦确矣
数学九章卷一下
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>
钦定四库全书
数学九章卷二上宋 秦九韶 撰天时
推气治厯
问太史测验天道庆元四年戊午嵗冬至三十九日九十二刻四十五分绍定三年庚寅嵗冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中间嘉泰甲子嵗气骨嵗余斗分各得几何
按绍定三年庚寅之冬至实绍定四年辛夘之始辛夘距戊午三十四年积年为三十三
答曰气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分余嵗五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分
术曰先距前后年数为法置前测曰刻分减后测曰刻分余为率【不足减则加纪防】以纪防累加之今及天道合用五日以上数为实以法除实得嵗余去全日余为斗分以所求中间年上距前测年数乘嵗余益入前测日刻分满纪防去之余为所求气骨
草曰置前测戊午嵗距前嵗庚寅嵗得三十三为法置前测戊午嵗冬至三十九日【日辰癸夘】九十二刻四十五分减后测绍定三年庚寅嵗冬至三十二日【日辰丙申】九十四刻一十二分今后测者少不及前测者以减乃加纪法六十日于后测日内得九十二日九十四日一十二分然后用前测者减之余五十三日一刻六十七分为率按术当以法三十三余率须使啇数必得五日以上乃可今率未得五日乃两度累加纪法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分为刻实如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分【不尽弃之】为嵗余乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分为斗分次推嘉泰甲子上距庆元戊午嵗得六以乘嵗余五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前测戊午嵗三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分满纪法六十去之余一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为所求甲子 气骨之数合问
按气骨者年冬至时距甲子日子正初刻后之日分也嵗余者嵗实去六甲子之余日分也斗分者嵗实去三百六十五日之余分也此未知嵗实之法故先以前后两气骨相减余数为实以积年为法除之嵗余约五日余纪日六十故实数内累加六十日至啇得五日上而止则实数为积嵗余之数以积年除之得嵗余日分既得嵗余以甲子积年六乘之得甲子积嵗余与前测气骨相加满纪法去之余即甲子气骨也
治厯推闰
问开禧厯以嘉泰四年甲子嵗天正冬至为一十一日【日辰乙亥】四十四刻六十一分五十四杪十一月经朔一日【日辰乙丑】七十五刻五十五分六十二杪问闰骨闰率各几何
答曰闰骨九日六十九刻五分九十一杪【不尽一百六十九分杪之一百二十一】
闰骨率十六万三千七百七十一
术曰以日法各通气朔日刻分杪各为气骨朔骨分其气骨分如约率而一约尽者为可用【或收弃余分在一刻以下者亦可用】然后与朔骨分相减余为闰骨率以日法约之为闰骨防
草曰置本厯曰法一万六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九万三千四百四十分二十六小分为实其歴约率系三千一百二十以约之得六十二可用其余小分二十六乃弃之只用一十九万三千四百四十为气骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日法一万六千九百乘之得二万九千六百六十八分九十九杪七十八小分将近一分故于气骨内所弃二十六小分借二十二小分以补朔内收上得二万九千六百六十九为朔然后以朔骨分减气骨分余有一十六万三千七百七十一为闰骨率复以日法除之得闰骨防九日六十九刻五分九十一杪不尽一百二十一筭直命之为一百六十九分杪之一百二十一合问
按此题若置冬至日分内减经朔日分余九日六十九刻五分九十二杪得闰骨防此原草仅多一百六十九分杪之四十八尽草中气骨内弃小分二十六朔骨分内进二十二并之为一百六十九分杪之四十八其不径相减而必用通分约分累乘累除者为向后推筭用耳
治厯演纪
问开禧歴积年七百八十四万八千一百八十三欲知推演之原调日法求朔余朔率斗分嵗率嵗闰入元嵗入闰朔定骨闰泛骨闰缩纪率气元率元闰元数及气等率因率蔀率朔等数因数蔀数朔积年二十三事各几何
答曰日法一万六千九百
朔余八千九百六十七
朔率四十九万九千六十七
斗分四千一百八
嵗率六百一十七万二千六百八
嵗闰一十八万三千八百四
入元嵗九千一百八十
入闰四十七万四千二百六十
朔定骨二万九千六百六十九
闰泛骨一十六万三千七百七十一
闰缩一十八万八千五百七十八
纪率一百一万四千
气元率一万九千五百
元闰三十七万七千八百七十三
元数四百二
气等率五十二
因率一百四十四
蔀率三百二十五
朔等数一
因数四十五万七千九百九十九
蔀数四十九万九千六十七
朔积年七百八十三万九千
积年七百八十四万八千一百八
术曰以厯法求之大衍入之调日法如何承天术用强弱母子互乘得数并之为朔余以二十九日通日法增入朔余为朔率又以日法乘前厯所测冬至气刻分收弃末位为偶数得斗分与日法用大衍术入之求等数因率蔀率以纪乘等数为约率置所求气定骨如约率而一得数以乘因率满蔀率去之不满以纪法乘之为入元嵗次置嵗日以日法通之并以斗定分为嵗率以十二月乘朔率减嵗率余为嵗闰以嵗闰乘入元嵗满朔率去之不满为入闰与闰骨相减之得差【或适足便以入元嵗为积年后术并不用或差在刻分法半数以下者亦以入元嵗为积年】必在刻分法半数以上却以闰泛骨并朔率得数内减入闰余与朔率求闰缩【在朔率以下便为闰缩以上用朔率减之亦得】以纪法乘日法为纪率以等数约之为气元率以气元乘嵗闰满朔率去之不满为元闰虗置一亿减入元嵗余为实元率除之得乘限乃以元闰与朔率用大衍入之求得等数因数蔀数以等约闰缩得数以因数乘之满蔀数去之不满在乘限以下以乘元率为朔积年并入元嵗为演纪积年又加成厯年今人相乘演积年其术如调日法求朔余朔率立
斗分嵗余求气骨朔骨闰骨及衍等数约率因率蔀率求入元嵗嵗闰入闰元率元闰已上皆同此术但其所以求朔积年之术乃以闰骨减入闰余为之闰赢却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位除乘消减谓之方程乃求得元数以乘元率所得为之积年加入元嵗共为演纪嵗积年所谓方程正是大衍术【今人少知】非特置筭繁多初无定法可传甚是惑悮后学易失古人之术意故今术不言闰赢而曰入闰差者盖本将来可用入元嵗便为积年之意故今止将元闰朔率二项以大衍先求等数因数蔀者仍仿前前求入元嵗之术理假闰骨如气骨以等数为约数及求乘数蔀数以等约闰缩得因乘数满蔀去之不满在限下以乘元率便为朔积年亦加入元嵗共为演纪积年此术非惟止用乘除省便又且于自然中取见积年不惑不差矣新术敢不用闰赢而求者实知闰赢已存于入闰之中但求朔积年之竒分与闰缩等则自与入闰相合必满朔率所去故也数理精微不易窥识穷年致志感于梦寐幸而得知谨不敢隐草曰本厯以何承天术调得一万六千九百为日法系三百三十九强一十七弱先以强数三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四于上次以弱数一十七乘弱子九得一百五十三并上共得八千九百六十七为朔余次以日法通朔防二十九日得四十九万一百增入朔余得四十九万九千六十七为朔率又以日法乘统天厯所测毎嵗冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪为斗泛分验八分既偶遂弃三十九杪只以四千一百八分为斗定分与日法以大衍术入之□得五十二为等数一百四十四为因率三百二十五为蔀率以甲子六十为纪法
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