□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法 小初商□七为一借根 一借积四□九减本积余以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六为三借根截去末一位得□七０七一０即方根
开诸乘方捷术四
大初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根以下逐数皆一减一加相间下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法 大初商□三为一借根 一借积□九内减本积余以除法除之得 □三四四八二七以减根余□九六五五为二借根 二借积□八七九四一九 减本积余以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五为三借根 三借积□八八００一二二二内减本积余以除法除之得 ００００二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根
天元开诸乘方捷术一较数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与元数密合而止
算例
假如平方负积十六正方二正隅一求元数
以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法 小初商□三为一借根 一借积一□五减本积余以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九 为二借根 二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三 为三借根 三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三为四借根截去末三位得□三一二三即元数
天元开诸乘方捷术二和数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积于外根加一之积相减又加一为递次除法 一借积减本积除以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求小元数
以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法 小初商 九为一借根 一借积□二七九减本积余以除法除之得００五五以加一借根得 九五五为二借根 二借积０九０七九七五内减本积余以除法除之得□０００三九八七以减二借根余０九五一０一为三借根 三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０为四借根 四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得０００００九二八以减四借根得 九五一一九 为五借根截去末一位得０九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一昔积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三０之积二四０为外积三０为外根求得三□八为递次除法 大初商三０为一借根 一借积二四 内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根 二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得００九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根 三借积一六□八三四内减本积余以除法除之得０００八九四以减二借根余二□八００一为四借根 四借积一六□八０三内减本积余以除法除之得００００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一 积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借根积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得００五以加一借根得□三０五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得０００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根 三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三 又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法 除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方方可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相并减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二 为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数
方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同相加异名相减 以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一０为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五 为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积一 借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆０九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四 以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
按正诸乘方亦可用右术
天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也
算例
假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八０□三欲增求之
以六一八０□三为外根如前又求得二二三六０因为递次除法 六一八０□三为一借根 一借积九九九九九一０八０□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六０□六为初变方正一为正隅 置初变积以除法除之得 三九八八七有奇截用四位得□０三九八八为次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八为二借根 次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得 七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八为三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八为三借根 三小根借积一□六七六六０三七六八九六七００００四减次变积余０００二一二０八七０三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅 置三变积以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四为四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四为四借根即元数
按右例所得十六位数即理分中末之大分数也
截球解义
徐有壬
几何原本谓球与同径
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