者合无数微分之积也亦用来氏之禾号以显之微分积分为中土算书所未有然观当代天算家如董方立氏项梅侣氏徐君青氏戴鄂士氏顾尚之氏暨李君秋纫所著各书其理有甚近微分者因不用代数式故或言之甚繁推之甚难今特偕李君译此书为微分积分入门之助异时中国算学日上未必非此书实基之也
代微积拾级序
伟烈亚力
中法之四元即西法之代数也诸元诸乘方诸互乘积四元别以位次代数别以记号法虽殊理无异也我 朝康熙时西国来本之奈端二家又创立微分积分二术其法亦借径于代数其理实发千古未有之奇秘代数以甲乙丙丁诸元代已知数以天地人物诸元代未知数微分积分以甲乙丙丁诸元代常数以天地人物诸元代变数其理之大要凡线面体皆设为由小渐大一剎那中所增之积即微分也其全积即积分也故积分逐层分之为无数微分合无数微分仍为积分其法之大要恒设纵横二以天代横以地代纵以彳天代横之微分以彳地代纵之微分凡代数式皆以法求其微系数系于彳天或彳地之左为一切面体之微分故一切面体之微分与纵横之微分皆有比例而迭求微系数可得面体之级数曲之诸异点是谓微分术既有面体之微分可反求其积分而最神妙者凡同类诸题皆有一公式而每题又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天与彳天之同数或地与彳地之同数以代之乃求其积分即得本题之全积是谓积分术由是一切曲曲所函面曲面曲面所函体昔之所谓无法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真数求对数对数求真数昔之视为至难者今皆至易呜呼算术至此观止矣蔑以加矣罗君密士合众之天算名家也取代数微分积分三术合为一书分款设题较若列眉嘉惠后学之功甚大伟烈君亚力闻而善之亟购求其书请余共事译行中国伟烈君之功岂在罗君下哉是书先代数次微分次积分由易而难若阶级之渐升译既竣即名之曰代微积拾级时几何原本刊行之后一年也
谈天序
李善兰
西士言天者曰恒星与日不动地与五星俱绕日而行故一岁者地球绕日一周也一昼夜者地球自转一周也议者曰以天为静以地为动动静倒置违经畔道不可信也西士又曰地与五星及月之道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等议者曰此假象也以本轮均轮推之而合则设其象为大轮均轮以椭圆面积推之而合则设其象为椭圆面积其实不过假以推步非真有此象也窃谓议者未尝精心考察而拘牵经义妄生议论甚无谓也古今谈天者莫善于子舆氏苟求其故之一语西士善求其故者也旧法火木土皆有岁轮而金水二星则有伏见轮同为行星何以行法不同歌白尼求其故则知地球与五星皆绕日火木土之岁轮因地绕日而生金水之伏见轮则其本道也由是五星之行皆归一例然其绕日非平行古人加一本轮推之其推月且加至三轮四轮然犹不能尽合刻白尔求其故则知五星与月之道皆为椭圜其行法面积与时恒有比例也然俱仅知其当然而未知其所以然奈端求其故则以为皆重学之理也凡二球环行空中则必共绕其重心而日之质积甚大五星与地俱甚微其重心与日心甚近故绕重心即绕日也凡物直行空中有他力旁加之则物即绕力之心而行而物直行之迟速与旁力之大小适合平圜率则绕行之道为平圜稍不合则恒为椭圜惟历时等所过面积亦等与平圜同也今地与五星本直行空中日之摄力加之其行与力不能适合平圜故皆行椭圜也由是定论如山不可移矣又证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以煤坑之坠石而地之自转益信证以彗星之轨道双星之相绕多合椭圜而地与五星及日之行椭圜益信余与伟烈君所译谈天一书皆主地动及椭圜立说此二者之故不明则此书不能读故先详论之
谈天序
伟烈亚力
天文之学其源远矣太古之世既知稼穑每观天星以定农时而近赤道诸牧国地炎热多夜放羊因以观天间尝上考诸文字之国肇有书契即记及天文如旧约中屡言天星希腊古史亦然而中国尧典亦言中星历家据以定岁差焉其后积测累推至汉太初三统而立七政统母诸数从此代精一代至郭太史授时术法已美备惟测器未精得数不密此其缺陷也中国言天者三家曰浑天曰天曰宣夜然其推历但言数不言象而西国则自古及今恒依象立法昔多禄某谓地居中心外包诸天层层硬壳传其学者又创立本轮均轮诸象法綦繁矣后代测天之器益精得数益密往往与多氏说不合歌白尼乃更创新法谓太阳居中心地与诸行星绕之第谷虽讥其非然恒得确证人多信之至刻白尔推得三例而歌氏之说始为定论然刻氏仅言其当然至奈端更推求其所以然而其说益不可摇矣夫地球大矣统四大洲计之能尽历其面者无几人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者计绕太阳有小行星五十余大行星八其最大者体中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也设以五百地球平列土星之光环能覆之而诸行星又或有月绕之总计诸月共二十余设尽并诸行星及诸月之积不及太阳积五百分之一太阳体中能容太阴六千万倍可谓大之至矣而恒星天视之亦只一点耳设人能飞行空中如最速子亦须四百万年方能至最近之恒星故目能见之恒星最小者可比太阳其大者或且过太阳数十万倍也夫恒星多至不可数计秋冬清朗之夕昂首九霄目能见者约三千设一恒星为一日各有行星绕之其行星当不下十五万恒星又有双星及三合四合诸星则行星之数当更不止于此矣然此仅论目所能见之恒星耳古人论天河皆云是气近代远镜出知为无数远镜界内所已测见之星较普天空目所能见者多二万倍天河一带设皆如远镜所测之一界其数当有二千零十九万一千设一星为一日各有五十行星绕之则行星之数当有十亿零九百五十五万意必俱有动植诸物如我地球伟哉造物其力之神能之巨真不可思议矣而测以更精之远镜知天河亦有尽界非布满虚空也而其界外别有无数星气意天河亦为一星气无数星气实即无数天河我所居之地球在本天河中近故觉其大在别星气外远故觉其小耳星气已测得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星气为未成星之质至罗斯伯之大远镜成始知亦为无数小星聚而成而更别见无数星气则亦但觉如气不能辨为星之聚设异日远镜更精今所见者俱能辨恐更见无数远星气仍不能辨也如是累推不可思议动法亦然月绕行星行星绕太阳近代或言太阳率诸行星更绕他恒星与双星同然则安知诸双星不又同绕一星而所绕之星不又绕别星耶如是累推亦不可思议伟哉造物神妙至此荡荡乎民无能名矣
割圜八缀术序
左潜
自泰西杜德美立割圜九术以屡乘屡除通方圜之率我 朝明氏董氏各立一家言以为之说而杜氏之义推阐靡遗顾八互求尚无通术未足以尽一圜之变夫非明董之智力不能因法立法以尽其变也其能穷杜氏之义也资于借根方其不能广杜氏之法也亦限于借根方借根方即天元一之变术而借根方之不能立式究不如天元一之巧变莫测也是书祖杜氏而宗明氏又旁参以董氏之法八相求各立一式因式立法不烦审顾之劳因法入算不费寻求之苦向之不可立算者今皆能驭之以法即有不能立法布算者而其式终存则式能济法之穷而度圜诸一以贯之无遗法矣推其立式之由所谓比例术即明氏定半径为一率所有为二率或三率之法也所谓还原术即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也所谓借径术即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数借百分全弧通弦率数求千分全弧通弦率数诸法也所谓商除法又即还原术之变法也是故缀术之生因于明氏而又足以尽明氏之变明氏之未能立式也借根方法取两等数其分母分子杂糅繁重而不可通也其多号少号辗转互变而不可约也试取明氏书驭之以缀术其递降各率顷刻可求则是书也其真能因法立法而更能树帜于明董之后者与书为徐君青先生所作吴君子登述而成之顾详于式而略于草惟弦求矢矢求弦弦求切切求弦弧求割小切求大切小切求大弦小割求大矢八式有草余皆有式无草欲考其立式之原不可遽得学者难焉因于暇日一一尽为补草合为四卷书既成丁果臣先生以尝习算于徐先生将以此书付诸梓因缀数语于简端云
缀术释戴序
左潜
余既补订徐庄愍公割[圜](团)缀术丁果臣先生复以戴氏鄂士求表捷术见示图解详晰立法巧变于天地间自然之形数曲尽精微其中各式有足补徐氏之未备者如余弦求各式有式同于徐术而立法不同者徐术先求差根此术先求乘法更为直捷法异而理不异也要皆祖杜宗明使割圜之理一以贯之虽各有创术而因法立法互相发明益足见明氏书之为通术而其理固无所不赅也原书算式繁重通分化分诸法学者骤难通晓余因思缀术乃天元一之变法用以立式巧变莫测遂依法改演各草不一日而诸式立就且与书中细审诸草一一密合爰并取全书删繁就简手录成帙至求式各法已详缀术草中兹不再述
缀术释明序
曾纪鸿
易系曰极其数遂定天下之象则综天下难定之象以观于有定莫数若矣在昔圣神制器尚象利物前民其于数理必有究极精微范围后世者代久年湮其数学渐至失传近三百年泰西犹能推阐古法翻陈出新而中国之才人智士或反蹈其成辙而率由之孔子曰天子失官学在四夷正今日数学之谓也中国旧有弧矢算术而未标角度八之名未立八钤表则虽有用其理以入算者而无表可藉则每求一数必百倍其功而始得且得而仍非密率明代译出泰西八表及八对数表核其立法之源得数之初甚属繁难而成表之后一劳永逸大至于无外细至于无微莫不可以此表测之则其用之广大可想然得表之后虽无事于再求而任举一数何能较其讹误若仍用旧术则非匝月经旬不得一数此明静庵董方立推演杜德美弧矢捷术之可贵也向来求八者例用六宗三要二简各法若任言一弧度必不能考其弦矢诸数至杜氏创立屡乘屡除之法则但有弧径而八均可求董方立解杜术先取直之极微者令与弧合而后用连比例以推至极大又考诸率数与尖锥理相合故用尖锥以释弧矢而弧矢之理以显而数亦显明静庵解杜术先取四分弧通十分弧通弦直之极大者用连比例以推至千分万分弧通弦之极微者考其乘除之率数与杜氏原术乘除之理相合故用缀术以释弧矢而弧矢之数以出而理亦出董明二君均为弧矢不祧之宗无庸轩轾其间迩百年中继起者如戴鄂士煦徐君青有壬季壬叔善兰所著各书虽自出新裁要皆奉董明为师资也吾友左君壬叟湘阴相国之侄也英年积学于诗文赋字无不深纯每应试必冠其曹而于数学一道尤孜孜不倦遇有疑难之题必穷力追索务洞澈其奥窔而后止尝谓方员之理乃天地自然之数吾之宗中宗西不必分其畛域直以为自得新法也可曾释徐君青氏缀术又释戴鄂士求表捷术兹又释明静庵弧矢捷术而一贯以天元寄分之式于圆率一道三致意焉可谓勇矣余癸酉从丁果臣先生游始识壬叟继与共述粟布演草圆率考真二书相得甚欢不啻古所谓同方合志者孰意天厄良才壬叟竟于甲戌秋不永年而逝凡在同学诸人无不叹息不置余与壬叟两世神交能无怆切耶果臣先生为湖南数学之领袖所刊二十一种算书嘉惠士林良非浅尟兹文集壬叟遗书而汇刊之倩新化黄君玉屏宗宪任校之役订正精审毫发无憾壬叟得此不朽矣若夫诗古文词古人之门径已搜括殆尽即附为壬叟之绪余剞劂尚需诸异日也
圜率考真图解跋
曾纪鸿
曩读古今人数学书莫不言割圜之难数理精蕴中所载圜率与西人固灵所求三十六位之数相同皆用内容外切屡次开方之法欲求此三十六位之率不下数十年工夫亦綦难矣后有泰西杜德美特立屡乘屡除之法省去开方较旧法为稍捷然秀水朱君小梁用其术以求四十位圜率止有二十五位不误其后十五位概行误足见纷赜繁难易于淆乱果臣先生属纪鸿等凝心构思幸得创兹巧法敛级甚速按等推求了如指掌迩日深于算者穷理之功多演数之功少反觉不切于日用今左君壬叟黄君玉屏竟用此术推得各弧背真数至百位之多庶几息诸家之聚讼而为古之困于圜率者置一左券也
对数序
刘彝程
人莫不知对数之用世亦不乏求对数之书奚俟后有论譔顾是书之不容已于作也其要有二一则自来求对数者求一对数祗可得一对数今思得一法求一对数俱可得两对数以前册开方第二术求大于本数之对数较易正负相间之诸数为皆正即为小于本数之对数较以前册开方第三术求小于本数之对数较易诸数皆正者为正负相间即为大于本数之对数较以此求诸对数以备立表视前人诸法不尤捷乎此首卷之所以要也一则近来西书求对数半较其法颇捷而立法之原不详间以开方之理推之乃知亦系开方之法但此开方与前册开方诸法不同以中方根求大小两方根半较法也爰自平方至无量数九乘方各以率数
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
