数阐之莫不显然一贯而开方之说可以据为定论无疑此次卷之所以要也至是书中逐事逐节阐微抉隐于对数之理均觉似非小补然以视最要之端则犹为余事矣
论对数根
刘彝程
第一问
问何谓对数根曰命单一下带无数空位零一之数为方根求其无量数九乘方之积为真数次置方根零数即零一之一以一无量数乘之得单一为真数之自然对数由自然对数求得定准对数即对数根也法以十之自然对数为首率十之定准对数单一为中率求得末率为对数根十之自然对数与十之定准对数单一之比若以单一为自然对数与其定准对数之比而此所得定准对数用之乘一切方根零数可得一切数之定准对数以其为诸对数之所自出故曰对数根也
第二问
问以对数根乘一切数之方根零数而得一切数之定准对数其理若何且求一切定准对数舍对数根尚别有法乎曰一切数之方根零数既为一切数之自然对数则置本数之方根零数任以若干数之定准对数乘之以若干数之自然对数除之必得本数之定准对数顾此法须一乘一除不若有乘无除或有除无乘之便有乘无除者以对数根为乘法是也有除无乘者以十之自然对数为除法是也自然对数单一与定准对数对数根之比同于一切自然对数与一切定准对数之比而所宜置之一率系单一可以省除宜以单一为一率对数根为二率一切自然对数为三率求得四率为一切定准对数故以对数根乘一切方根零数即得一切定准对数又十之自然对数与十之定准对数之比同于一切数之自然对数与一切定准对数之比而十之定准对数系单一可以省乘故以十之自然对数除一切方根零数即得一切定准对数夫位少之数乘便于除位多之数除便于乘似以十之自然对数为除法较以对数根为乘法为便十之自然对数与对数根皆位多之数顾乘除方根零数乃乘除于得数之后得数即得方根也乘除所借之根单一为乘根于第一数之先第一数即连比例之第一数乘除于后与乘除于先原无少异则与其以十之自然对数除方根零数孰若以对数根乘借根单一之为便乎此求对数者所以恒置对数根为第一数之实也置对数根为第一数之实即如以对数根乘单一也
第三问
问求对数根共有几法曰旧法以十为本积开五十四次平方然后以方根为真数以方根之零数为自然对数以单一折半五十四次为定准对数置单一以定准对数乘之自然对数除之得对数根此一法也戴氏以十为本积先开三十一乘方为用数然后以用数开无量数九乘方求得方根零数以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然对数以十之自然对数除定准对数单一得对数根此又一法也李纫叔氏以二为本数求得自然对数三因之得八之自然对数又求得四与五之自然对数较命为八与十之自然对数较四五与八十比例同故对数较亦同以加八之自然对数为十之自然对数然后以十之自然对数除单一得对数根此又一法也夫旧法极繁不可为训戴李二术因十之自然对数不可径求故一则借用数以求之一则分二次以求之皆法之极善者也
第四问
又问求对数根别有法乎曰无论以若干数之自然对数除本数之定准对数皆得对数根以对数根乘诸自然对数既得诸定准对数则以诸自然对数除诸定准对数必得对数根但诸数之自然对数与定准对数恒难兼而有之如二可得自然对数不能得定准对数十之平方根可得定准对数不能得自然对数试思何数可兼得自然与定准两对数则得对数根矣间尝于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法与戴法相似后一法与李法相似此法任取略大于单一之数皆可为求对数根之借端明乎此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左
一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根
假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求之二十三乘方根法以借积减本积得０一五０二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三为第二数除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四为第三数乘法乘第三数除法除之得０００００００八一以四十九乘之七十二除之得００００００００五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得０００００００００八以七十三乘之九十六除之得００００００００００六为第五数诸数相并得一一００六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术
次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四余十之定准对数得００四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得０一００六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得０一００六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得００一０一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得０００五０六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得００００五一０四八五又二乘之三除之得００００三四０三二三三为第三数正乘法乘第三数得０００００三四二六八五又三乘之四除之得０００００二五七０一四为第四数负如是求得００００００二０七０００四为第五数正０００００００一七三八为第六数负００００００００一五为第七数正００００００００一三为第八数负００００００００００一为第九数正诸正数相并并诸负数以减之得００九五九四一０四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数００四一六六六六六六七以自然对数００九五九四一０四五六除之得０四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术
一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根
假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得０一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得０一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得０００五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得００００三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得０００００二五为第四数负如是求得００００００二为第五数正０００００００一六七为第六数负００００００００一四为第七数正０００００００００一为第八数负诸正数相并并诸负数以减之得００九五三一０一八为一一之自然对数以上用开方第一术
次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得００一五０二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六□五五四八０六七第二位为单数故志以□为屡次除法合以较积为乘法小借积为除法今以乘法除除法为除法则屡次乘法可以省去置大借积之根单一以除法除之得００一五二五五九八为第一数正除法除第一数一乘之二除之得００００一一六三七五为第二数负除法除第０二数二乘之三除之得００００００一一八四为第三数正除法除第三数三乘之四除之得０００００００以００一四为第四数负第一第三数相并以第二第四数相并减之得００一五一四０七八为大借积与小借积之自然对数较亦即为大积与小积之自然对数较大小两借积皆寄大积除法为母同一寄母则与原大积小积比例仍同比例同故对数较亦同次置一一之自然对数以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次数加一乘之也得二二八七四四四三二为小积之自然对数以大小两积之自然对数较加之得二三０二五八五二为十之自然对数置定准对数单一以十之自然对数除之得０四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第四术
代数术序
华衡芳
代数术二十五卷余与西士傅兰雅所译也傅君本精于此学余亦粗明算法故傅君口述之余笔记之一日数千言不厌其艰苦凡两月而脱稿缮写付梓经年告成爰展阅一过而序之曰数之名始于一而终于九故至十则进其位而仍以自一至九之数名之至百则又进其位而仍以自一至九之数名之如是以至千万亿兆其例一也夫古人造数之时所以必以十纪之者诚以数之多可至无穷若每数各与一名则吾之名必有穷时且纷而无序将不可记忆不如极之于九而以十进其位则举手而示屈指而记虽愚鲁者皆能之故可便于民生日用传之数千百年至今不变也观夫市廛贸易之区百货罗列精粗美恶贵贱之不同则其数殊焉多寡长短大小之不同则其数又殊焉凡欲以其所有易其所无者必握算而计之其所斤斤计较者莫非数也设有人言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变而我立一通法以驭之此中法之天元西法之代数所由作也代数之术其已知未知之数皆代之以字而乘除加减各有记号以为区别可如题之曲折以相赴迨夫层累已明阶级已见乃以所代之数入之而所求之数出焉故可以省算学之工而心亦较逸以其可不藉思索而得也虽然代数之术诚简矣诚便矣试问工此术者遂能不病其繁乎则又不能也夫人之用心日进而不已苟不至昏眊迷乱必不肯中辍故始则因繁而求简及其既简也必更进焉而复遇其繁虽迭代数十次其能免哉由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法而设也若米盐零杂之事而概欲以代数施之未有不为市侩所笑者也至于代数天元之异同优劣读此书者自能知之无待余言也
论四元相消之理
汤金铸
四元之书今所存者以元朱汉卿四元玉鉴为最古然四元实由天元所推广而天元则宋秦道古数学九章元李镜斋测圆海镜益古演郭邢台授时历艹皆着其法今并存唐王又孝通辑古算经所立诸术多与天元四元所衍得者同疑亦据此而作也考九章算术少广章曰借一算为法步之似即立天元一所自始顾天元因借一而立然所借止于一用犹未广故推衍为四元而四元法则悉本方程以为用也天元地元即方程[之]一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色须多一行犹元术多一元即多一式四元之相消无异方程之互乘对减方程对减一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然则对减者方程之转枢而相消者实四元之关键矣夫相消原与常法相减无异而理则有殊减则数有大小即有减余之数而相消必两数参差相等消后数有对者汰之无对者列为正负存之故所得必正负相当而等于无数天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者须得相等两如积相消遇寄左数须开平方始与又数等者即又数等于左数之平方根也故以又数自乘即与寄左数相等因自乘必无奇零开方数常不尽故以此通之也或遇左数当以某数除之始与又数等者即又数小于左数若干倍也则以其数乘又数令大若干倍即与左数相等因如积常不受除故以此通之也两数既等即可消为一
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