行得开方式若立二元者既有两如积相消而得一式矣然式中又有两元之和数或较数则两元仍不可知故必更求两如积相消而得又一式乃以此二式相消得开方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式则二式之最左一行必相同而相消必尽犹方程之互乘对减必减去最上一层也知其必尽故不必乘亦不必减所以省算也如是屡乘屡消以消至一行止为开方式若遇两式中左行之数彼大于此若干倍者可以约率求之不必互乘互乘所以齐同今此既小于彼若干倍则依若干倍之即与彼齐同矣遇两式之行数不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇层数高下不同者亦然如右式有数在太上一层左式太下一层始有数可令右式降而从之或以左式升而从之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元则可任意升降而不可任意左右地人两元互相牵制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元则牵制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行数层数不齐者必用剔消法驭之剔消之理因各式之数既正负相当则任以一数乘之或除之其相当固不变即其数任分为二各自乘相减所得仍相当不变也故三元法遇各式行数多少不齐即将少行之式直剔为二各自乘而相消则数本为元者可增而为面体及多乘方可与多行之式相消矣四元法遇各式行数层数均不齐者则直剔一式使少行增为多行又横剔一式使少层增为多层亦可与多行多层者相消矣至旧法天物相乘地人相乘得数皆纪于夹缝中式中有此则视其由何数相乘而得者即以其数除而去之若不受除则乘他式以齐之凡此皆不外通分齐同之义而能尽相消之用者也
正负相当等于无数则任以数乘之除之或自乘开方或剔乘相消必仍相当而等于无数作者以此释相消之理良由于四元代数贯彻纯熟故能语必破的
九减法及任用他数减试说
沈善蒸
验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九十九九百九十九九千九百九十九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能郄尽无余又如三与三十之较数二十七七与七十之较数六十三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八百六十五万五千七百八十四今欲以并代减将各位相并得四十三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也
论海洋深浅之理
沈善蒸
依重心之理而论大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全体各质点皆有吸力各点互吸其力必聚于公重心犹之一重物各质点皆有重率而重心必归于一点也凡万物之存重力皆因地球吸力所致而重力与吸力原非二物故吸力之心即重心无疑所以地面上有物坠下必向地球之公重心而海面恒与重心至地面径线成正交故重心即球心也又因地球以二极为轴每日东转一周而生离心力焉故北半球之垂线俱向重心而稍偏南垂线者即悬线也南半球之垂线俱向重心而稍偏北维赤道与二极地方之垂线直向重心是以地球为微匾形矣今阅地图北半球陆地多于南半球若使海洋深浅略同则北半球地质多于南半球重而南半球轻其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地没为海南半球之浅海变为陆何能成现在之形状以鄙意度之北半球之海洋应倍深于南半球之海洋故北半球洋面虽少以深补之仍不为少南半球洋面虽多以浅消之仍不为多乃两半球之地质轻重相等而重心亦无偏北之势庶能成现在之形状又大西洋应深于太平洋之理亦然不知此论然否须质诸泰西测海家验以实测方可自信如其不然必因地质有松密北半球地质多而松南半球地质少而密亦能轻重相等可使重心不偏也
质点
韩应升
欧罗巴人旋光性论云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以为人之不能分非物之不可分以几何之理言之物虽大合之可至无穷虽微分之可至无穷尺椎之说也而以为物有不可分之地者何也定质质点大小质点小水质点大气质点小气中各类应又分何类质点大何类质点小丸与黍大小悬殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴则丸
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