第十七
凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣
第十八
凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣
第十九
凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣
第二十
凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆仿此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣
第二十一
凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二
凡有两数彼此互乘所得之数与原数比例必同也葢数有多寡而分又有大小则纷纭难御故必依此数之分将彼数加为几倍又依彼数之分将此数加为几倍则两分数既同而比例亦同矣如甲乙二数甲为三分之二乙为四分之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加三倍为十二分之九依乙数将甲数加四倍为十二分之八如是则所加之两大分同为十二而所生之两小分相比即同于原甲数与乙数之相比矣何也甲数本三分之二而为十二分之八者乃加四倍之比例【十二为三之四倍八为二之四倍】而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙数本四分之三而为十二分之九者乃加三倍之比例【十二为四之三倍九为三之三倍】而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法如甲为三分之二者三即母数二即子数也乙为四分之三者四即母数三即子数也因两母数不同故用互乘以同之】
第二十三
凡子母分有几数而子数同为一者先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之则爲各子数也如甲乙丙三数甲为二分之一乙为三分之一丙为四分之一则先以三母数连乘得二十四为甲乙丙之共母数又以二除共母数得十二为甲之子数以三除共母数得八为乙之子数以四除共母数得六为丙之子数葢甲本二分之一子母各加十二倍即为二十四分之十二而二十四与十二之比例仍同于二与一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即为二十四分之八而二十四与八之比例仍同于三与一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即为二十四分之六而二十四与六之比例仍同于四与一之比
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