然后以甲所变之分母二十八与乙所变之分母二十七相乘得七百五十六分为乘出之分母又以甲所变之分子二十三与乙所变之分子一十六相乘得三百六十八分为乘出之分子即定为七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真数明之甲四分丈之三即一丈内之七尺五寸又带小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘二豪有余是甲数共为八尺二寸一分四厘二豪有余也乙九分丈之五即一丈内之五尺五寸五分五厘五豪有余又带小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有余内之三寸七分零三豪有余是乙共为五尺九寸二分五厘九豪有余也两数相乘得四十八尺六十七寸六十五分有余即七百五十六分丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六十七寸六十五分不尽之数葢七百五十六分为一百尺则三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有余也】
设如有甲数八分丈之三又带此一分之四分之一与乙数八分丈之四又带此一分之六分之五相乘问得几何【此大分母同而小分母不同者也】
法以甲数小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十二与乙所变之分母四十八相乘得一千五百三十六分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子二十九相乘得三百七十七分为乘出之分子即定为一千五百三十六分丈之三百七十七为所得之数也【二相乘问得几何如以真数明之甲八分丈之三即三尺七寸五分又带此一分之四分之一即三寸一分二厘五豪是甲数共为四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又带此一分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有余是乙数共为六尺零四分一厘六豪有余也两数相乘得二十四尺五十四寸四十二分有余即一千五百三十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得二十四尺五十四寸四十二分不尽之数葢一千五百三十六分为一百尺则三百七十七分自得二十四尺五十四寸】
设如有甲数六分丈之四又带此一分之五分之一
与乙数九分 【四十二分有余也】丈之七又带此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】
法以甲数小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一为甲大小分所变之数又以乙数小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十与乙所变之分母四十五相乘得一千三百五十分为乘出之分母又以甲所变之分子二十一与乙所变之分子三十七相乘得七百七十七分为乘出之分子即定为一千三百五十分之七百七十七为所得之数也【如以真数明之甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有余又带此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有余是甲数共为六尺九寸九分九厘九豪有余也乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有余又带此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有余是乙数共为八尺二寸二分二厘二豪有余也两数相乘得五十七尺五十五寸五十五分有余即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不尽之数葢一千三百五十分为一百尺则七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有余也】
除法
零分归除零分者两分母两分子各自除之所得之数即除出之分也如有竒零不尽者用互乘法齐之即得分数其比例与除出之法同
设如有九分丈之二以三分丈之一除之求得几何法以九分丈之二为实三分丈之一为法以法分母三除实分母九得三为除出之分母又以法分子一除实分子二仍得二为除出之分子即定为三分丈之二为所得之数也此法即乘法内两分母两分子各相乘为所得之数者转用之耳此零分除零分之法也
又法以互乘代除以实分母九乘法分子一得九为除出之分母又以法分母三乘实分子二得六为除出之分子共得九分丈之六即所求之数也此法与前法所得之分母分子之数虽不同而理则一前法之三分之二与此法之九分之六其比例实同葢前法以法除实其得数为减分之比例此法以两数互乘其得数为加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用两分母相乘之数省去一层耳如欲明晰其故则以两分母九与三相乘得二十七法分母三与实分子二相乘得六实分母九与法分子一相乘得九是将三分之一变为二十七分之九将九分之二变为二十七分之六其两分母既等则其两分子自成比例故九与六之比即同于三与二之【六以三约之非三分之二耶】比九分之【如以真数明之实九分丈之二为面积即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有余也法三分丈之一为边线即三尺三寸三分三厘有余也除之得六尺六寸六分六厘有余即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不尽之数葢三分为一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有余也】
整数归除零分者分母通整数以除分子即得所求之数
设如有五分丈之三以八丈除之求得几何
法以分子三为实以分母五通整数八丈得四十为法除之得七寸五分即所求之数也此法以五分乘八丈者是分母通整数将每丈俱通为五分也八丈既通为四十分则五分之三之每一分即与四十分中之每一分同等然而零数三分以四十分除之而得七寸五分者则又为变分为尺寸之比例矣四十分与一丈之比即同于三分与七寸五分之比此整数除零分之法也
零分归除整数者分母通整数而以分子除之即得所求之数
设如有六丈以三分丈之二除之求得几何
法以分母三通整数六丈得一十八为实以分子二为法除之得九丈即所求之数也此法以三分乘六丈者是将每丈俱通为三分也六丈既通为十八分则十八分中之每一分与三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整数之法也
整数带零分归除整数者先将法实之两整数俱通为零分而于法中加入分子除之即得
设如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得几何
法以分母三通二十四丈得七十二为实又以分母三通二丈得六加入分子二得八为法除之得九丈即所求之数也此法以分母三通实二十四丈是将实之每丈俱化为三分也又以分母三通法二丈是将法之每丈亦俱化为三分也两整数俱化为同等则法实一体故法除实而得所求之数也此整数带零分除整数之法也
整数归除整数带零分者先将法实之两整数俱通为零分而于实中加入分子以法除之即得
设如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得几何【即以前法数目作题者取其易明也】
法以分母三通二丈得六加入分子二得八为实又以分母三通二十四丈得七十二为法除之得一尺一寸一分不尽约为九分丈之一即所求之数也此法以分母三通法实之两整数者是将两整数之每丈俱通为三分也一得七十二分一得八分以七十二与八之比即同于九与一之比故约为九分之一且以七十二除八得一一一不尽之数定为一尺一寸一分有余者葢七十二分与一丈之比即同于八分与一尺一寸一分有余之比也此整数除整数带零分之法也
整数带零分归除零分者先将整数通为零分加入分子除之即得
设如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得几何
法以五分丈之四为实以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五为法用两分母两分子各自归除之法以法分母八除实分母五得六二五为除出之分母以法分子二五除实分子四得一六○为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之数也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也实之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分归除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分与一丈之比即同于八尺与二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五与一丈之比即同于一六○与二尺五寸六分之比也然六二五与三丈一尺二寸五分之比又即同于一六○与八尺之比而皆为加倍之比例也此整数带零分除零分之法也又或整数通为零分加入分子之后以法除实而数有竒零不尽者则用互乘代除之法如前数已将整数通为八分丈之二十五为法乃以实分母五乘法分子二十五得一百二十五为除出之分母又以法分母八乘实分子四得三十二为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分与一丈之比即同于三十二分与二尺五寸六分之比也后法之有竒零数而用互乘代除者皆同此例
零分归除整数带零分者先将整数通为零分加入分子以法除之即得
设如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得几何
法以实之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四为实以七分丈之四为法用互乘代除之法以实分母三乘法分子四得十二为除出之分母以法分母七乘实分子一十四得九十八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍余二不尽命为十二分尺之二以法约之为六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之数也葢十二与一尺之比即同于九十八与八尺有余之比也此零分除整数带零分之法也
整数带零分归除整数带零分者先各以整数通为零分加入分子而以法除实即得
设如有田五亩又三分亩之二共租银五两又二十七分两之一求每亩得租银几何
法以银分母二十七通五两得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分两之一百三十六为实又以田分母三通五亩得十五加入分子二得十七共得三分亩之十七为法用互乘代除之法以银分母二十七乘田分子一十七得四百五十九为除出之分母以田分母三乘银分子一百三十六得四百零八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八钱八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每亩所租之银数也葢四五九与一两之比即同于四○八与八钱八分八厘有余之比也此整数带零分除整数带零分之法也
大零分下又带小零分相除者其例有四【有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者】今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之子母数用互乘代除之法归之即得【如用子母各自对除亦得但恐数有竒零故用此法】
设如有甲八分丈之七又带此一分之五分之三以乙五分丈之二又带此一分之四分之一除之求
法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八为甲大小分所变之数以之为实又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九为乙大小分所变之数以之为法然后用互乘代除之法以甲所变之分母四十乘乙所变之分子九得三百六十为除出之分母又以乙所变之分母二十乘甲所变之分子三十八得七百六十为除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十约为九分厘之一即所求之数也葢三六○与一尺之比即同于七六○与二尺一寸一分一厘有余之比也此大零分下带小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此例故不重设】
御制数理精蕴下编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三
线部一
正比例
转比例
合率比例
正比例带分
转比例带分
比例
凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命数以一人为法故乘与除各省其率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例正法则所该甚广大而推歩七政天行测量髙深广逺小而量功命事度大移小无一非由比例而得葢以两数为比例用今有之数即可以得未有
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