【汰去三分之一则存者为三分之二】因两分母不同故用互乘以齐之以两分母三七相乘得二十一为共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分即以所通今存兵十四分为一率原年数二十七分为二率原兵二十一分为三率推得四率二十一分年之四十分半满分母二十一分收为一年余十九分半【四十分半内减二十一分余十九分半】约为七分年之六分半即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也葢今存兵比原兵少三分之一则支粮年数必多三分之一故今存兵十四分与原兵二十一分之比即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也
御制数理精蕴下编卷三
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四
线部二
按分递折比例【二八差分 三七差分四六差分递折差分 加倍减半差分】
按分递折比例
差分之欵项虽多而按分递折者皆为相连比例故约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细分其目如左
二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数葢八与三十二之比即如二与八之比也有四色者则以二与八与三十二与一百二十八为衰数葢三十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二八之比例故曰二八差分
三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为【与二以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之数七作三分必至竒零不尽故以三因三得九为三分则以三因七得二十一为七分如二十一转为三分则四十九又为七分矣】衰数葢九十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数【以三因九得二十七为三分故以七因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十三又为七分矣】葢二十七与六十三六十三与一百四十七一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七之比例故曰三七差分
四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者则以四与六与九为衰数葢六与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与六与九与一三五为衰数葢九与一三五之比亦如四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰数总不越乎四六之比例故曰四六差分
递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为十分之半故载于倍半法中而别为一类
加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以求正数也
二八差分
设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若干
法以二分八分相并得十分为一率银三千两为二率二分为三率推得四率六百两为下等人户所纳之数仍以二分八分相并之十分为一率银三千两为二率以八分为三率推得四率二千四百两即为上等人户所纳之数也此法两用四率者正为明比例之理葢二分八分相并之十分与总银三千之比即如二分之与六百之比八分之与二千四百之比也
又捷法以二八所并之十分归除总银三千两得每分三百两以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所纳之数于总银内减之即八分所纳之数此又正法外之变法也
设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银人若干赏米人若干
法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率推得四率三百二十名为应赏银之人如以八分为三率推得四率一千二百八十名即应赏米之人也葢二分八分相并之十分与总人一千六百之比即如二分之与三百二十名之比八分之与一千二百八十名之比也
又捷法以二八所并之十分归除总人数一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得赏银人三百二十名以八分乘之得赏米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也
设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之问每人应得几何
法以二分为甲衰八分为乙衰三十二分为丙衰相并得四十二分为一率总米五百八十八石为二率以甲二分为三率推得四率二十八石即甲分米数以乙八分为三率得四率一百一十二石即乙分米数以丙三十二分为三率得四率四百四十八石即丙分米数也此法用二与八八与三十二者即二八相连比例分葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比即二分与二十八石之比八分与一百一十二石之比即三十二分与四百四十八石之比也又捷法以总数四十二分归除总米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也
设如有铜五百二十斤錬成精铜每十分中去渣二分余精铜八分问精铜与渣各得若干
法以十分为一率铜五百二十斤为二率八分为三率推得四率四百一十六斤为精铜之数如以二分为三率推得四率一百零四斤即铜渣之数也葢十分与五百二十斤之比即如八分之与四百一十六斤之比二分之与一百零四斤之比也
又捷法以十分归除总铜五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精铜八分数减总铜余即铜渣二分数也
设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递次二八分种问各田应得几何
法以二分为麻衰八分为豆衰三十二分为谷衰一百二十八分为麦衰并之得一百七十分为一率总田二千六百三十五亩为二率以麦一百二十八分为三率得四率一千九百八十四亩即麦田数如以谷三十二分为三率得四率四百九十六亩即谷田数如以豆八分或麻二分为三率所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也又捷法以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩得每分一十五亩五分乃以每色分数乘之即得每色应种数也
设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出问各出几何
法以一商为二分一商为八分一商为三十二分一商为一百二十八分一商为五百一十二分并之得六百八十二分为一率总银三千四百一十两为二率以五百一十二分为三率得四率二千五百六十两即五百一十二分应出之数如以一百二十八分为三率得四率六百四十两即一百二十八分应出之数如以三十二分为三率得四率一百六十两即三十二分应出之数如以八分或二分为三率所得四率四十两即八分应出之数一十两即二分应出之数也
又捷法以总数六百八十二分除总银三千四百一十两得每分五两再以每人分数乘之即得每人应出银数也
设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何各等户共纳几何
法以五百一十二为甲一户分数再以甲三十户乘之得一万五千三百六十为甲三十户共分数以一百二十八为乙一户分数再以乙四十户乘之得五千一百二十为乙四十户共分数又以三十二为丙一户分数再以丙五十户乘之得一千六百为丙五十户共分数又以八为丁一户分数再以丁六十户乘之得四百八十为丁六十户共分数又以二为戊一户分数再以戊七十户乘之得一百四十为戊七十户共分数以所得五等共分数并之得二万二千七百为总分数为一率总粮二千六百五十五石九斗为二率以甲五百一十二分为三率得甲一户纳五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共纳一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分为三率得乙一户纳十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共纳五百九十九石零四升以丙三十二分为三率得丙一户纳三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共纳一百八十七石二斗以丁八分为三率得丁一户纳九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共纳五十六石一斗六升以戊二分为三率得戊一户纳二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共纳十六石三斗八升也
又捷法以总分数除总粮数得每一分一斗一升七合以各等一户分数乘之得各等一户纳粮之数以各等共户分数乘之得各等共户纳粮之数葢前法有各等户而各等之中又有众户故以定分数【二八三十二一百二十八五百一十二之数】为各等分数又以众户乘之为各等共户之分数此捷法以总分数除总粮是得各等每一户中之一分故以每一户分数乘之得每一户之数以每一等共分数乘之得每一等之全数也
三七差分
设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几何
法以七分为东县衰数三分为西县衰数并之得十分为一率总银五千两为二率以七分为三率得四率三千五百两即东县应支之数如以三分为三率得四率一千五百两即西县应支之数也葢三七比例亦以总衰数与总银数之比即若每县衰数与每县银数之比故十分与五千之比即若三分与一千五百之比七分与三千五百之比也又捷法先以总衰十分除总银五千两得每分五百两以七分乘之即东县之数以三分乘之即西县之数或得东县数于总银内减之余即西县数也此法以总衰除总银得每分五百两以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而后除后法先除而后乘其理一也
设如有田二千五百亩令上等户七分种之下等户三分种之问各该几何
法以七分三分相并得十分为一率二千五百亩为二率上户七分为三率得四率一千七百五十亩即上户应种田数如以三分为三率得四率七百五十亩即下户应种田数葢十分与二千五百亩之比即七分与一千七百五十亩之比三分与七百五十亩之比也又捷法以三七相并之十分归除总田二千五百亩得每分二百五十亩以三分乘之得下户七百五十亩以七分乘之得上户一千七百五十亩葢一分为二百五十亩而三分得七百五十亩七分得一千七百五十亩也
设如以车运物行十里二十刻到今已行七里问尚得几刻到
法以十里为一率二十刻为二率以七里与十里相减余三里为三率推得四率六刻即运到刻数也如以七里为三率推得四率十四刻与总二十刻相减余六刻亦即运到刻数也葢十里与二十刻之比即三里与六刻之比七里与十四刻之比也
又捷法以十里归除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里为二刻则三里得六刻七里得十四刻也
设如种树一千一百六十株按松柏桃栁四色递次三七分种问各该几何
法以三百四十三分为松衰一百四十七分为柏衰六十三分为桃衰二十七分为栁衰并之得五百八十分为一率一千一百六十株为二率以三百四十三分为三率得四率六百八十六株即种松之数以一百四十七分为三率得四率二百九十四株即种柏之数以六十三分为三率得四率一百二十六株即种桃之数以二十七分为三率得四率五十四株即种栁之数也
又捷法以总衰数五百八十归除总树一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得种松之数以一百四十七分乘之得种柏之数以六十三分乘之得种桃之数以二十七分乘之得种栁之数也此法有四位故以三因九得二十七为栁衰数又递用七因三归为桃柏松之衰数也
设如有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三七分织问各该丝几何
法以九分为绢衰二十一分为绫衰四十九分为缎衰并之得七十九分为一率丝四百九十七两七钱为二率以缎四十九分为三率得四率三百零八两七钱即缎丝数如以绫二十一分为三率得四率一百三十二两三钱即绫丝数如以绢九分为三率得四率五十六两七钱即绢丝数也
又捷法以总衰数七十九分除总丝四百九十七两七钱得每分六两三钱以缎四十九分乘之得缎丝之数以绫二十一分乘之得绫丝之数以绢九分乘之得绢丝之数也此法有三位故以三因三得九为绢之衰数又递用七因三归为绫与缎之衰数葢九与二十一二十一与四十九为相连比例三率而九与二十一之比即二十一与四十九之比也
设如编银八百二十八两二钱令甲乙丙丁戊五等户三七徴纳问各户所纳几何
法以八十一分为甲衰一百八十九分为乙衰四百四十一分为丙衰一千零二十九分为丁衰二千四百零一分为戊衰并之得四千一百四十一分为一
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
