又捷法以总衰五十二分七五归除总粮一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰数乘之即得各舟运粮之数也
设如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交纳上等二十六户下等四十户问各等每户各该几何
法以六为上等衰数以上户二十六户乘之得一百五十六为上等二十六户共衰数以四为下等衰数以下户四十乘之得一百六十为下等四十户共衰数并之得三百一十六为一率总米三百八十五石五斗二升为二率以上等六分为三率得四率七石三斗二升为上等一户米数以上等共分数一百五十六为三率得一百九十石三斗二升为上等二十六户共米数如以下等四分为三率得四率四石八斗八升为下等一户米数以下等共分数一百六十为三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米数也
又捷法以总衰三百一十六分归除总米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米数以上等共分数乘之得上等共米数以四分乘之得下等一户米数以下等共分数乘之得下等共米数也
递折差分
设如有熟稻七百九十九亩六分八厘令三人以十分之六收割问每人得几何
法以一百为第一人分数六十为第二人分数三十六为第三人分数三分数相并得一百九十六分为一率总稻七百九十九亩六分八厘为二率第一人分数一百为三率得四率四百零八亩即第一人收割田数如以第二人分数六十为三率得四率二百四十四亩八分即第二人收割田数如以第三人分数三十六为三率得四率一百四十六亩八分八厘即第三人收割田数葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百与六十之比即六十与三十六之比递次比例皆十分之六也其得数四百零八亩与二百四十四亩八分之比即二百四十四亩八分与一百四十六亩八分八厘之比亦皆为十分之六也
又捷法以总分一百九十六除总田七百九十九亩六分八厘得每一分四亩零八厘以一百分乘之得第一人四百零八亩以六十分乘之得第二人二百四十四亩八分以三十六分乘之得第三人一百四十六亩八分八厘也
设如有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七递次贩货出卖问每人该银几何
法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数相并得二千五百三十三分为一率总银一千二百六十六两五钱为二率以一千分为三率得四率五百两即第一人银数以七百分为三率得四率三百五十两即第二人银数以四百九十分为三率得四率二百四十五两即第三人银数以三百四十三分为三率得四率一百七十一两五钱即第四人银数葢十分之七递折而下第二人得第一人十分之七则第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰数一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十与七之比例也
又捷法以总分二千五百三十三除总银一千二百六十六两五钱得每一分五钱以一千分乘之得第一人五百两以七百分乘之得第二人三百五十两以四百九十分乘之得第三人二百四十五两以三百四十三分乘之得第四人一百七十一两五钱也
设如生铜入炉镕化三次每一次去渣十分之二净得上好熟铜二百四十八两问原铜几何
法即以十分之八为分数【十分之中去渣二分得净铜八分故以十分之八为比例】以八分为一率十分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率三百一十两为第三次入炉铜数又以八分为一率十分为二率三百一十两为三率得四率三百八十七两五钱为第二次入炉铜数再以八分为一率十分为二率三百八十七两五钱为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也此法因八折三次而转求原数故以八分为一率十分为二率转求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分为一率十分自乘再乘得一千分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法则以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟铜数为三率即得第一次生铜数是合三次乘除而为一次乘除也
设如有丝三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分问各得几何
法以一千为甲分数八百为乙分数六百四十为丙分数五百一十二为丁分数相并得二千九百五十二分为一率总丝三百六十九斤为二率以每人分数各为三率所得各四率一百二十五斤为甲数一百斤为乙数八十斤为丙数六十四斤为丁数葢十分之八递折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰数一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十与八之比例也如捷法先除后乘须用通分不然则斤数有竒零矣
设如有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八问每户该出几何
法以一百为上等分数用二十五乘之得二千五百为上等户共分数以六十为中等分数用三十乘之得一千八百为中等户共分数以三十六为下等分数用四十八乘之得一千七百二十八为下等户共分数并之共六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各分数各为三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户数乘各等每户绢数得上等二十五户共出绢一百九十五丈中等三十户共出绢一百四十丈零四尺下等四十八户共出绢一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以总分数六千零二十八分除总绢四百七十丈一尺八寸四分得每一分为七寸八分以各等分数乘之得各等每一户绢数再以各等户数乘之即得各等众户共出绢数也
设如有官粮一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次递折交纳一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户问每等每户各纳几何
法以一千为一等分数用二十二户乘之得二万二千即一等户共分数以七百为二等分数用三十六户乘之得二万五千二百即二等户共分数以四百九十为三等分数用四十二户乘之得二万零五百八十为三等户共分数以三百四十三为四等分数用四十八户乘之得一万六千四百六十四为四等户共分数并之共八万四千二百四十四分为一率总粮一百六十八石四斗八升八合为二率以一千分为三率得四率一等每户二石以共户数乘之得共纳四十四石以七百分为三率得四率二等每户一石四斗以共户数乘之得共纳五十石零四斗以四百九十分为三率得四率三等每户九斗八升以共户数乘之得共纳四十一石一斗六升以三百四十三分为三率得四率四等每户六斗八升六合以共户数乘之得共纳三十二石九斗二升八合也又捷法以总分数八万四千二百四十四除总粮一百六十八石四斗八升八合得每一分为二合以各等分数乘之得各等每一户粮数再以各等户数乘之即得各等众户共纳粮数也
加倍减半差分
设如一人读书日加一倍三日共读三千四百六十五字问每日所读几何
法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数并之得七分为一率总字三千四百六十五为二率一分为三率得四率四百九十五字即第一日所读之数倍之得九百九十字即第二日所读之数又倍之得一千九百八十字即第三日所读之数也葢加倍者是第二日增于第一日一倍第三日又增于第二日一倍倍数多者由此递加如二与四四与八八与十六之类皆为加一倍之比例也
设如一人织绢日加一倍至第四日织成六丈七尺五寸问每日织几何
法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数八为第四日分数并之得十五分为一率总绢六丈七尺五寸为二率一分为三率得四率四尺五寸即第一日之数倍之得九尺为第二日之数又倍之得一丈八尺为第三日之数又倍之得三丈六尺为第四日之数四数相加共得六丈七尺五寸以合原数也
设如一人借银为商三次每次得利银比本银加一倍每次还人二百两三次之后本利还尽问原本银若干
法以一为本银分数二为第一次本利共分四为第二次本利共分八为第三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分并之得七分与每次还人二百两相乘得一千四百两为三率得四率一百七十五两即原本银数也葢每次得利银比本银加一倍则原本银为一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未还人计也然每次还人二百两三次之后本利还尽若第三次不还则得二百两者一分第二次不还则至第三次必得二百两者二分第一次不还则至第三次必得二百两者四分【以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四分】是第三次应得二百两者七分而为一千四百两矣故以八分与一分之比同于一千四百两与一百七十五两之比也
又法以二百两用三次还银共分七乘之得一千四百两折半三次亦得本银之数葢折半三次即以八除也
设如一人卖酒每日比原数加一倍一日卖一斤六日卖尽问原酒若干
法以一为原酒分数按六日加倍六次得六十四分为一率原酒一分为二率又以一为第六次卖酒分二为第五次卖酒分四为第四次卖酒分八为第三次卖酒分十六为第二次卖酒分三十二为第一次卖酒分并之得六十三分与每斤十六两相乘得一千零八两为三率得四率十五两七钱五分即原酒数也
又法以每斤十六两用六次卖酒共分六十三乘之得一千零八两折半六次亦得原酒之数葢折半六次即以六十四除也
设如有田一千二百亩分与甲乙丙丁四人种之自上以下递减一半问各该若干
法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分并之得十五分为一率田一千二百亩为二率以甲八分为三率得四率六百四十亩即甲田数以乙四分为三率得四率三百二十亩即乙田数以丙二分为三率得四率一百六十亩即丙田数以丁一分为三率得四率八十亩即丁田数如以甲田六百四十亩折半即乙田数以乙田三百二十亩折半即丙田数以丙田一百六十亩折半即丁田数也
设如有银一万八千零八十八两令甲乙丙三人减半分之问各该几何
法以四为甲分数二为乙分数一为丙分数并之得七分为一率总银一万八千零八十八两为二率以甲四分为三率得四率一万零三百三十六两即甲所得银数以乙二分为三率得四率五千一百六十八两即乙所得银数以丙一分为三率得四率二千五百八十四两即丙所得银数也葢减半者即自上而下折半减之也如四折半为二二折半为一是也今以甲银一万零三百三十六两折半即得乙银五千一百六十八两将乙银再折半即得丙银二千五百八十四两也
设如有银三千一百六十两分与三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之银减一倍第三等比二等之银减一倍问各等每人分银几何
法以四为一等分数二为二等分数一为三等分数以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三数相并共得一百五十八分为一率总银三千一百六十两为二率四分为三率得四率八十两为第一等每人所得银数减半得四十两为二等每人所得银数又减半得二十两为三等每人所得银数以各等人数乘各等每人所得银数即各等共人所得共银数并之以合原银数也
御制数理精蕴下编卷四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷五
线部三
按数加减比例【递加递减差 分超位加减差分互□□平 差分首尾互凖】
按数加减比例
差分之内又有按数递加递减或互和折半者皆为相当比例其法有四一曰递加递减差分盖所加所减之中递次数目皆同者也一曰超位加减差分乃加减之中彼此分数不同者也一曰互和折半差分盖立法以首尾二数之较互和折半以求中数而递加递减者也一曰首尾互准差分乃以前几分之数与后几分之数互相比较或以前几分与后几分定为同数以立准则然后立衰数以求之者也然超位加减即递加递减之一类也首尾互凖又为互和折半之变体也
递加者其数自少而多以渐而加也递减者其数自多而少以渐而减也加减之数递次皆同故以递次名之法中有三色者以总法比总实即得中一数凡单位者俱按此例如五色七色九色之类是也有四色者以总法比总实得中二数相和折半之数凡双位者皆按此例如六色八色十色之类是也既得中数按定数加减则各色之数可得矣
超位加减者加减之中递次分数不同即如三人分银若干一得三分一得五分一得八分而彼此分数之比例不同又
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