共得一万六千零七为防隅共法书于余积之左而以四商七乗之得一十一万二千零四十九与余积相减恰尽是开得八千零七尺为方面每一边之数也此法方积中虽有一空位而商出之方边却有二空位凡开方遇此类者皆依此例推之
设如有积一万四千九百二十八尺开方问每一边数几何
法列积一万四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作记于八尺上定单位九百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺为初商积以初商本位计之则一万尺为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万尺之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积四千九百尺续书于下为次商防隅之共积以次商本位计之则九百尺为次商积之单位而四千九百尺为四十九而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除四十九足二倍即定次商为二书于方积九百尺之上而以次商二为隅法与防法二十相加共得二十二为防隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余五百尺复以方边末位积二十八尺续书于下共五百二十八尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为廉法以除五百二十八足二倍即定三商为二书于方积八尺之上而以三商二为隅法与廉法二百四十相加共得二百四十二为防隅共法书于余积之左以三商二乗之得四百八十四与三商廉隅共积相减余四十四尺不尽是开得一百二十二尺为方面每一边之数仍余四十四尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増书两空于总积之后复续书两空于四十四尺之后为几十几寸之位是则四十四尺作四千四百寸为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸为廉法以除四千四百寸足一倍即定四商为一寸书于余积空寸之上而以四商一为隅法与廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸为廉隅共法书于余积之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸与余积相减余一千九百五十九寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书两空于后増空十空寸之后复续书两空于五十九寸之后为几十几分之位是则一千九百五十九寸作一十九万五千九百分为五商廉隅之共积爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一万二千二百一十分倍之得二万四千四百二十分为廉法以除一十九万五千九百分足八倍即定五商为八分书于余积空分之上而以五商八为隅法与防法二万四千四百二十分相加共得二万四千四百二十八分为廉隅共法书于余积之左以五商八分乗之得一十九万五千四百二十四分与余积相减仍余四百七十六分不尽是开得一百二十二尺一寸八分为方面每一边之数也此法原积本非自乗所得之数虽递析之终不能尽凡开方遇此类者皆依此例推之
设如有一方台上面共铺方甎四千零九十六块问每一边得甎几何
法列方甎四千零九十六块为方积于六块上定单位空百块上定十位其四千块为初商积以初商本位计之则空百块为初商积之单位而四千块为四十与六自乗之数相准即定初商为六书于方积空百块之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余四百块爰以余积九十六块续书于下共四百九十六块为次商廉隅之共积而以初商六作六十倍之得一百二十为廉法以除四百九十六足四倍即定次商为四书于方积六块之上而以次商四为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十四为廉隅共法书于余积之左以次商四乗之得四百九十六与余积相减恰尽是开得六十四块为方台上面每一边之甎数也
设如有三百六十一人用船分载其每船所载人数与共船数相等问共船几何
法列三百六十一人为方积于一人上定单位三百人上定十位其三百人为初商积以初商本位计之则三百为初商积之单位止与一自乗之数相准即定初商为一书于方积三百之上而以一自乗之一书于初商积之下相减余二百爰以余积六十一续书于下共二百六十一为次商廉隅之共积而以初商一作一十倍之得二十为廉法以除二百六十一足九倍即定次商为九书于方积一人之上而以次商九为隅法与廉法二十相加共得二十九为防隅共法书于余积之左以次商九乗之得二百六十一与余积相减恰尽是开得十九为共船数而每船载十九人也
设如有银七百八十四两散给夫匠其每人所得银数与其人数相等问共人数几何
法列七百八十四两为方积于四两上定单位七百两上定十位其七百两为初商积以初商本位计之则七百为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积七百之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余三百爰以余积八十四续书于下共三百八十四为次商廉隅之共积而以初商二作二十倍之得四十为廉法以除三百八十四足八倍即定次商为八书于方积四两之上而以次商八为隅法与防法四十相加共得四十八为防隅共法书于余积之左以次商八乗之得三百八十四与余积相减恰尽是开得二十八为共人数而每人得银二十八两也
设如用船运粮六千五百六十一石欲取一船别用将此船米分载各船每船领去一石其本船尚余一石问共船几何
法列米六千五百六十一石为方积于一石上定单位五百石上定十位其六千五百石为初商积以初商本位计之则五百石为初商积之单位
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