界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣
第十八
凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣
第十九
凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也
第二十
函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也
第二十一
圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二
凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也
第二十三
有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也
防何原本五
第一
平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣
第二
凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣
第三
平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣
第四
凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己
第五
凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣
第六
凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣
第七
凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为鋭角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣
第八
众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣
第九
平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角【见本卷首节】故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十
有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣
第十一
相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣
第十二
有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也
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