御制数理精蕴 - 第1部分

股较一勾股较故以勾股较为长阔较用帯纵较数开方法算之得濶为股较也

设如有勾较九尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【较求勾】

法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数【股法第四十四葢与勾股较之较乃内减去勾股较之余然内有一勾一勾股较一股较今减去勾股较故余为勾与】自乗得一百尺又以勾较九尺与与勾股较之较十尺【股较之共数也】相加得十九尺为【葢勾加勾较即今与勾股较之较既为勾与股较之共数若加勾较则为与股较之共数矣】自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾较九尺为长濶较用纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾与股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为与股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午未子辰为股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾较与股较相乗之二长方共积与与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为与勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形则此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾较自乗之正方则余坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合共为坎水离巽类之二长方矣折半则为一长方其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长濶较用纵较数开方法算之得长为股也又法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数与勾较九尺相加得十九尺为与股较之共数两数相并得二十九尺为一勾一二股较之共数与勾较九尺相乗得二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺两积相减余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾较九尺为长阔较用帯纵较数开方法算之得长十五尺为股与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾较与一勾一二股较相乗之长方内甲乙己戊为勾较与勾和相乗之一长方与庚辛壬癸股自乗之一正方积等【见股与勾较求勾法中】戊己丙丁为勾较与股较相乗之二长方与癸子丑寅与勾股和之较自乗之一正方积等此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾较自乗之正方则余庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等折半即余庚卯子癸一长方形其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长阔较用纵较数开方法算之得长为股也

设如有股较二尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第四十五】

法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数【葢内减股较余即股故于与勾股较之和内减股较余即为股与勾股较之共数也】自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两自乗数相减余九十二尺又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得濶十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方又癸子丑寅为与勾股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形所余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股较相乗之二长方今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之则减去坎艮震丁勾自乗之一正方其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽离戊与戊离坤坎二长方即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方巽火兑离与离兑艮坤为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将巽火兑离离兑艮坤二长方移为水木辛火木金乙辛则成水金丙震一大长方形其阔即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长濶和用帯纵和数开方法算之得濶为二勾股较折半得勾股较也

又法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺为一股一二勾股较之共数以股较二尺乗之得九十二尺两数相减余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也【盖图以甲辛为股辛乙为勾股较若以甲申为勾则申辛亦勾股较故为一勾两勾股较也】内巳午未丁为勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方又癸子丑寅为股较与一股一二勾股较相乗之一长方内癸子辰夘为股较与股和相乗之一长方与勾自乗之一正方等【见勾与股较求股法中】卯辰丑寅为股较与二勾股较相乗之二长方今以两积相减则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊戊坎艮巳之股较与二勾股较相乗之二长方所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方干申酉坎坎酉午艮为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将干申酉坎坎酉午艮二长方移为震巽辛申巽离乙辛则成震离丙未一大长方形其濶即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股内少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长阔和用纵和数开方法算之得阔为二勾股较折半得勾股较也

勾股积与勾股和较相求法

设如有勾股积一百二十尺勾十尺求股各几何法以勾股积一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺为股勾股求得二十六尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其阔即勾其长即股故以勾除倍积而得股也

设如有勾股积六十尺股十五尺求勾各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺为勾勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其长即股其濶即勾故以股除倍积而得勾也

设如有勾股积三十尺十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也

设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股各几何

法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾较或股较求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后

设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股各几何

法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾和或股和求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后

设如有勾股积六十尺勾股总和四十尺求勾股各几何

法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股总和四十尺除之得十七尺为于勾股总和四十尺内减十七尺余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与自乗之一正方等故所余者为自乗之二正方股相乗之二长方勾相乗之二长方折半即得自乗之一正方股相乗之一长方勾相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即其长即勾股总和故以勾股总和除之而得也

设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺求勾股各几何

法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股总数内减与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为甲丙为与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即与勾股和之较其长即与勾股和之和故以与勾股和之较除之得勾股总数也

设如有勾股积六十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何

法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为自乗之一正方而自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与相乗之二长方折半则

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