第十三
凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐鋭成形则谓之尖圆体辰图是也
第十四
凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣
第十五
凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也
第十六
凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者爲面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也
第十七
凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必爲面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣
第十八
凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九
凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣【如前节所云】而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也
第二十
平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边
二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌
卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面
各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本
卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既
各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
未庚申癸二方体之正一半其积必等
无疑矣
第二十一
凡各种体形难以图显葢以图止一面
故也必用木石制之始能相肖况此各
种形体又或有外实而内空者必按其
形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二
凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也
第二十三
凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣】
第二十四
凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必爲戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也第二十五
凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积爲与尖圆体之积等也试将球体从中心分爲千万尖体复将尖圆体亦分爲千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底而以球体之甲戊半径爲高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底而以尖圆体之己壬高爲高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆爲同底同高其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也
第二十六
凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣
第二十七
厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一爲四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二爲六面体毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方体如乙图是也三爲八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四爲十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五爲二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也
第二十八
前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等则爲平面不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱爲钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平
面六角形之三形合于一处爲癸其甲
乙丙三角度与四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五种体只在三
角四角五角三种平面形所生此外不
能复成他形也
御制数理精蕴上编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷三
几何原本六
几何原本七
几何原本八
几何原本九
几何原本十
几何原本六
第一
大凡欲论诸物之不齐必借同类之物以比之始可以得其不齐之度数如一线与他线相比其度之或长或短其数之或多或少自能见之如一面与他面相比其面度之或大或小其积数之或多或少自能见之又如一体与他体相比其体度之或厚或薄其积数之或多或少亦自能见之若将一线与一面相比或一面与一体相比既不同类又不同形则线之长短面之大小体之厚薄俱不可辩矣故曰欲论诸物之不齐必借同类之物以比之也
第二
将两数相比其度互为大小则谓【率】之比例其比者与所比者俱谓之【率者法也矩也以数互相准之之谓也】其比之数为前率其所比之数为后率如甲乙二数互相为比其相较之分甲数之度为长其分为多乙数之度为短其分为少如是以比之故谓之二率甲为比之之数故谓之前率乙为所比之数故谓之后率焉
第三
有四率两两相比其一率与二率之比同于三率与四率之比则谓之同理比例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分之五则甲与乙之比例丙与丁之比例此两比例相同而乙有甲防分之数即可知丁有丙防分之数矣故凡四率内将一率与三率分数定为相等二率与四率分数亦定为相等其度之长短虽有不同苟分数定准则
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