之度等则所存之度不等
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
有多度俱半于此度则彼多度亦等
有二度自相合则二度必等以一度加一度之上也全大于其分如一尺大于一寸寸乃全尺十之一也
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与原所赢之度等
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与原所赢之度等
全与诸分之并等
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
度各形之髙皆以垂线之亘为度两形同在两平行线内其髙必等凡度物髙以顶底为界以垂线为度不论物之偏正也盖物之定度有一无二自顶至底垂线一而已偏线无数也
线说
有二横直线任加一纵线或正或偏若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇如甲乙丙丁二横直线任意作戊巳线交于二横直线之上而戊巳线或正或偏若戊巳线旁同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁二线必有相遇之处
两直线不能为有界之形
两直线止能于一防相遇
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙丙丁圜内甲乙线丙丁线其去戊心逺近等因己戊戊庚两垂线等故也若辛壬线去戊心近矣因戊癸垂线小故也
凡一防至直线上惟垂线至近垂线之两旁渐逺平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线
角说
凡直角俱相等
直线上立垂线则两旁皆直角若立偏线则一为钝角
其一必为锐角如子丑线上甲乙
垂线也丙丁偏线也
比例说
比例者两几何以几何相比之理几两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而非数可明者是也其大合线为有两度之线其小合线为无两度之线
凡大合有二种有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者为相同之比例其不等者又有二种有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分其一为几倍大者如二十与四是二十内为四者五如三十尺与五尺是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也其二为等带一分者如三与二是三内既有二别带一以为二之半如十二与九是十二内既有九别带三以为九之三分之一则三与二名为等带半也十二与九名为等带三分之一也其三为等带几分者如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八之四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也其四为几倍大带一分者如九与四是九内既有二四别带一一为四之四分之一则九与四名为二倍大带四分之一也其五为几倍大带几分者如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与右相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡诸数俱有书法有全数有分数全数依本数书之分数有二一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则书为三分之二三为命分数二为得分数也其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若反几倍大则用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也其二等带一分之比例有全数有分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一又二之一也若反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也其三等带几分之比例亦有全数有分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一又七之三也若反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三又七之一也若反几倍大带一分则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乗大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乗三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又如五带九之一反书之九乗五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三又八之五也若反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乗大倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乗三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也通曰右皆化整为零之法也法详竒零
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则径与界亦有小合比例之线也又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等即曲线直线两视有大有小亦有比例也又方形与圜不能为等形然相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线
角亦有比例如上图直
角钝角锐角皆有与曲
线角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线也又线与面面与体及切圜角与直线锐角皆无比例也
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是如有四几何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加四倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四则倍第三之十八必大于倍第四之八也乃知三与二偕六与四得为同理之比例也此断比例之法若连比例则以中率两用之既为第二又为第三也若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例矣
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同理之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷如甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊五几何为同理之连比例其一甲与三丙为
再加之比例其一甲与四丁为三加之比例其一甲与五戊为四加之比例若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也再以数明之如此直角方形之边三尺彼直角方形之边一尺若九与一夫九与一之间有三为同理之连比例则此九三一之三数既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也故彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大约第一与二之比例若线相比第一与三若平面相比第一与四若体相比第一与五若少广之三乗方与六则若四乗方与七则若五乗方也
同理之几何前与前相当后与后相当
比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数盖中率相结者于不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例则以
彼二倍六倍两
比例相结也二
六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也大约以三率为始三率则两比例相乗除而中
率为纽也若四率则先以前
三率之两比例相乗除而结
为一比例又以此与第三比
例相乗除而总结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结又以此与第三比例乘除相结又以此与第四比例乗除相结而为一比例也或如下图亦可
三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又
如次图前以大不等后以小不等者中率小于前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大则甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反
推之半除三为反等带半也又如末图前以小不等后以大不等者中率大于前后两率也其甲乙与丙丁为反二倍大丙丁与戊己为等
带三分之一即甲乙与戊己为反等带半何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也又法以命数三带得数一为四半除得二二比三为反等带半也若戊己为首则为等帯半矣
若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也右说连比例之不同理者用中率以结矣若不同理之断比例异中率而无可结者当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结即得如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若
八与三及二与四之比例八为前之
前四为后之后三为前之后二为后
之前此二比例无可结乃别立同中率之二比例如其八与三二与四之比例如三其八得二十四为前之前三其三得九为前之后即以九为后之前又求得十八为后之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣
通曰十六内去十二余四为十二三之一当曰等带三之一也
论三角形
一于有界直线上求立平边三角形如甲乙线先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即成甲乙丙平边三
角形
二一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等如甲防乙丙线先以丙为心乙为界作丙乙圜
次观甲防若在丙乙外则自
甲至丙作线如上图或在丙
乙内则截取甲至丙一分线
如下图俱以甲丙为底作甲丁丙平边三角形次引丁丙至丙乙圜界为丙戊引丁甲出丙乙圜外至己为甲己乃以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙
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