其余形与戊庚形相似即与丁相似也
三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带余平行方形与甲丙形等而甲己为其余形又与甲丙形相似
则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也
三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙
上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等
通曰此勾股半幂相并与半幂等也
三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其余各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切
成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线
三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为
乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚
又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形
又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界
増题
一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例
又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与余两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊
一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初
月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形
三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率
线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求
四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比
例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求
五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上
作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率
六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比
例若乙与丙也余用前法
七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比
例如甲形求分两形俱与丁相似其
两分形两相似之边又与乙与丙之
比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊余同二题之法
八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形
相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求
九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲
戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
通曰两等线交亦等两不等线交亦不等
十圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则必为各割圜全线与其规外线之各中率如任取戊防作戊丁戊丙两割圜线则戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也或有
戊己切圜线则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一两直线相遇作角从两腰之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如甲丁丙戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上而甲戊丙丁交而
相分于乙也若甲乙丙为锐角如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交而相分于己也则两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
十二平行线形内两直线与两边平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等如甲丙平行线形内戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬则所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相与为比例皆等
十三凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等如甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊则所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆
等
十四三角形任于一边任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例如甲乙丙角形任于一边如乙丙上任取一防求丁上作线分本形为两形其两形之比例若所设戊与己也先两分乙丙于庚令乙庚与庚丙之
比例若戊与己其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也假若庚防在丁丙之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也又若庚防在乙丁之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也
又凡角形任于一边任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
十五一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例如甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线求其断比例之末率为己次求丁戊及己之中率线为
庚辛乃于庚辛上作壬形与甲相似甲与壬之比例若乙与丙
用此法可依此直线形加作两倍大三四五倍以至无穷之他形亦可减作二分之一三四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等也如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线引之至圜界于庚即乙庚为所求方形之一边也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大于甲丙
又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
十六诸三角形求作内切直角方形如甲乙丙锐角形
先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁
之比例若甲丁与乙丙末从戊作己
庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角则从直角甲钝角甲作垂线余法同前
又若直角三边形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比
例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行从戊作戊己线与甲乙平行即得丁己形如求
通曰西学莫精于象数象数莫精于几何余初读三过不解忽秉烛玩之竟夜而悟明日质诸穆师极许可凡制器尚象开物成务以前民用以利出入尽乎此矣故约而记之于此
数度衍附录
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书 子部六
勾股引 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股引五卷
国朝陈訏撰訏字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熈六十一年壬寅首载加减乗除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乗法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式葢兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乗方与弦积相减所余之积转减积为股较不知以勾股和自乗积与倍积相减所余为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乗以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乗矣则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乗之积为容方者四斜内为容方者两不知勾股形内以为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乗积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全録梅文鼎平三角举要畧加诠释所用八线小表以余线可以正正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精防猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引宗防可见録存其説亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
句股引
海寜 陈訏 撰
凡例
六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引
自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端余不辞费葢全帙中皆加减乗除故也
筹算剙自逺西较珠算最为雅便但定位置○殊费推今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必筹便楮可代
数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至纵方虽于勾股法不恒用然法尤防奥不可不知故并载焉
勾股为测量诸法之原变化神妙不外叅互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已
测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳
三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌
三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之
三角八线必检表得度虽弧三角【即西法三角曲线】与平三角防有不同未可据平三角遽为步厯之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异
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