次商是退位再商故有置○不置○之别】
三商 因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎防隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数
再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六【见前隅数定位】以之乗三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除余实尽为三商六
右共开方得五百○六
自乘再乘还原
五开
三商列筹不隔○ 商数置○式
四商隔○筹式又商数置○式
五商又隔○筹式
假如积实一万七千三百一十八亿【即万万】九千○百九十一万六千七百二十九
【按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同】五开列实如左
五防五开
五防根必万
防前无余从单位
初商 防前无余从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万
次商 以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉
以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉
视第二格之六○八近少为平廉约数
以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数【按隅数五开次商三格以上是百万位】并之除七千二百八十亿为次商二千
三商 以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿余实三八九○九一六七二九
去前所列筹以初次两商【共一万二千】自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉
【凡乗大数各存○余位则从单位逆推乗数定位不紊】
上图如两商一十二
万自之得一亿四千
四百○○万
再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法
如法列两廉约数取近少莫如九格【三八九五二九】但三商应除至三防位止今筹格六位而第三防前连防位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商防前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百
四商 立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每防之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除余实又莫如九格【三八八○七二九】但五开四商应除至第四防止今第四防之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十
五商 依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每防之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数【此约数首位三系十亿位】
再以九格之隅数八十一【五开五商次格以下是十位】乗长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除余实至五开尾防位止为五商九
右五商共一万二千○○九
【末商平廉 三八八八○○○七二九长廉二九一六
并之 三八九○九一六七二九】
右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多葢三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉以为长廉约数葢隅因亷为升降而亷依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也
立方带纵
方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乗纵数再乗得纵积并入方积以减原实为初商
次商以下更加纵积纵廉积除余实为次商【余商同】并两商数得阔因阔以知长
【用防定开位悉依立方 纵积除至防后】
如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乗方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干
【按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除至防后其并纵积则除至防位之后葢纵在立方之外积非立方之积不可以每防之位为定也】
如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列余实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数【有两廉约数在某格即某格是商数】因纵数得若干再以商数乗之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乗初商数得若干以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干
右纵方两开者次商之平廉必列至次防位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次防位之后【与开方不同】止两开者即并积亦必次防位止若并积之位浮于余实应退格改商以除实若平廉各格多于防前之实或应退格或应置○同前开方置○法
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