三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乗上初商次商再以乗得之数乗末商为纵廉积并除实【四商以下同】
如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺
初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乗初商之四十得一百二十【此纵靣】再以初商四十乗一百二十得纵积四千八百【此纵体】先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十余实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除
次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格【二四一二五】为近少为平廉约数以五格之隅数【二五】乗长廉之一百二十得三千【两开次商四格以下隅数是十】为长廉约数列于平廉下之千位
以纵法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下
并之共除余实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺
如积实二百万○○○○○○尺 但云阔不及长三尺
三防三开 初商是百
防前无余
初商一【在大筹单位除实】以三为纵法乗商数一百得三百【此纵靣】又以商数一百乗三百得三万【此纵体】合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵
次商依立方法平廉三万长廉三百取近少【三格九二七以相近因纵有纵积应加故退格约廉】二格之六○八相近为平廉约数
以第二格隅数四【三开次商三格以上是百位】乗长廉得一十二万为长廉约数
以纵法三尺乗次商二十【取平廉长廉约数俱在二格即是二十】得纵面六十又以商数二十乗纵面六十得纵积一千二百
以纵法三尺倍之得六为纵廉【次商方根加廉则所之纵亦应加廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止倍之】乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得纵廉积一万二千
并之
平廉约数六十○万八千
长廉约数一十二万
纵积一千二百
纵廉积一万二千
共七十四万一千二百减余积仍余二十二万八千八百○十○单
为次商二十
三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数
以第五格隅数二十五乗长廉三百六十得九千为长廉约数
以纵法三尺乗商数五得一十五又以商数五乗一十五得七十五为纵积
以纵廉六【纵法三尺倍之得六】乗初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百为纵廉积
依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五
右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺
按立方纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乗商数得纵之面更以商数乗纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乗次商而得纵长廉之面又以次商商数乗纵面而得纵长廉之积此所谓纵积也其实乃纵之长廉积也于是纵之两平廉以纵法倍之即以乗初商之数为纵平廉之面以此纵平廉之面乗次商商数而得纵平廉之积于是所之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣葢其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乗初商次商之商数而以乗得之数再乗三商之商数葢必连初商次商再乗三商方是三商纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也
附立方减纵法
假如立方积五千七百七十六尺 但云长不及阔三尺
防前无余除单格
初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乗商数一十【两防根必十】得三十再以三十乗商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百余七百以减原实为初商一十
余实五千○七十六尺
次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹【次商以初商自之又三倍之】之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九【其数稍浮于实者立方积也后以纵积等减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减】为立方两廉约数次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积
次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积
合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九【此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也】
右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长
以上纵方开法初商方根积必至首防位止次商平廉长廉共约数必至次防位止不得除至防位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积
句股引卷二
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书
句股引卷三
海寜 陈訏 撰
句股法
句股名义
直者为股
横者为句
斜者为
句股并减名义
句股和【句与股相并】句和【句与相并】
股和【股与相并】
句股较【句与股相较】句较【句与相较】
股较【股与相较】
和和【与句股和相并】较和【与句股较相并】和较【与句股和相减】较较【与句股较相减】右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然
句股准数
句三股四五
句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法
句股求
句自乗股自乗两积实相并开方得
句股各自乗之实必合自乗之实故并积开方得
【按句股开方俱平方后同】
如句【三】自乗得九股【四】自乗得一十六并之共二十五平方开之得五即【五】
句求股
句自乗自乗两积实相减开方得股
股求句
股自乗自乗两积实相减开方得句
自乗之积实必合一句一股自乗之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句
如【五】自乗得二十五为积内减句积九余一十六为股【四】之积若积减股积一十六余九为句【三】之积俱用开方得所求
较求股
句自乗股较自乗两积实相减倍较为法除之得股股又加较得
句积中除股较之积则所余必倍于股之长故以倍较为法除余积得股之长
如句【三】自乗得九减长于股之较一【积亦一】则余积八必倍于股长故倍较【一】为二除之得四即得股四
若不倍较为法但以较除相减之余积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减余之积去较折半亦得股长
如句余积八以较一除之仍是八必倍于股【四】故去较又折半亦得股【四】
以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法
股和求股
句自乗以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得
股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股
如股【四】五共九除句积【九】得一即股【四】【五】之较【一】去较【一】存【八】则与股齐故折半得股【四】
句和求句
股自乗句和自乗两积实相减折半以句和为法除之得句【句和内减句即得】
句和自乗之积必倍于句与句和相乗之积而尚多一股积故于和积内减股积则所余者为句乗句和之倍积故折半使止存一句乗句和之积而以句股和为法除之得句如股【四】自乗得一十六句和自乗得六十四内减十六余四十八折半余二十四以句【三】【五】为法除之得三为句句既得即于句和除句得五
句和求
股自乗以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句
句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得
如股四自乗得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五
句股和求句股
自乗句股和自乗两积实相减再以余积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减余之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句【三】股【四】得和七自乗得四十九以自乗得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股【四】股得亦可依法得句【按此所得之较乃句股较作股较者误】
句股较求句股
句较乗股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得
如句较【二】乗股较【一】仍得二倍之得四开方得二加股较【一】得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五
句股和求句股
句和乗股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得
如句【三】【五】为句和八乗股【四】【五】之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股【四】于十二减股【四】【五】之股和九得句【三】于十二减句【三】股【四】之句股和七得【五】
句股求容方
句股相乗以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径【按若勾股较二句有误】
容方外余句余股相乗平方开之亦得容方径
以容方径自乗得实以余句为法除之得余股以余股为法除之得余句
句股相乗之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于余句余股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也
句股求容圆
句股相乗倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乗并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乗之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也【按勾股之长两倍于容圆周语误】
句股论【李之藻】
句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乗并之为实故开之得句自乗减余为股实故开之得股股各自乗减余为句实故开之得句句股和自乗倍实相减开其余即句股较也句股较自乗以减倍实开其余即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乗减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乗股为实并
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