菱形术并内外湾得五十折半得二十五以径折半得五相乗得一百二十五为积步
长圆形术以外周折半得二十八径折半得一十相乗得二百八十为积步
扇形术并内外湾得三十四折半得十七并两横得二十折半得一十相乘得一百七十为积步矩形同扇形术内外曲即内外湾也睂形术以下二十三并两径共三十三折半为一百六十五【此即五因】再以下并虚径四为二十七折半为一十三五又乗虚径四得五十四乃于一百六十五内减之余一百一十一为积步
梯形术并二广为三十八折半得十九与长相乗得一千○二十六为积步
不正形术以中长折半为二十东北与西南并为三十相乗得六百为积步
梭形术以长折半为十八与濶相乗得三百○六为积步半梭形同此
牛角形术以广与长乗得六千八百三十二半之得三千四百一十六为积步
通曰先增虚形以求后减虚形以得此亦变法也若形内可分为数形者则有并法在
通曰田形无穷大约絶长补短以取其形可量耳惟是下弓之处务中其节始得无差不然则可任意大之小之也至或有计种数者或有计税米之数者随其则例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者则又计绳而整量之凡纵横皆七十七丈五尺为一顷也
数度衍卷十五
钦定四库全书
数度衍卷十六
桐城 方中通 撰
开筑【商功之一】
垺实率
穿地四尺 为壤五尺 为坚三尺
通曰壤者垺土也坚者实土也
互求法
穿地求壤及坚式穿地一万尺问壤土坚土各若干曰壤土一万二千五百尺坚土七千五百尺术以五因穿地得五万尺为实以四为法除得壤土以三因穿地得三万尺为实以四为法除得坚土
壤地求穿及坚式壤地一万二千五百尺问穿土坚土各若干曰穿土一万尺坚土七千五百尺术以四因壤地得五万尺为实以五为法除得穿土以三因壤地得三万七千五百尺为实以五为法除得坚土
坚地求穿及壤式坚地七千五百尺问穿土壤土各若干曰穿土一万尺壤土一万二千五百尺术以四因坚地得三万尺为实以三为法除得穿土以五因坚地得三万七千五百尺为实以三为法除得壤土
开法
求日式开壕上广七尺下广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名问几日可完曰二日术并上下广得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘长得五万七千六百尺为实以二百名乗每日穿数得二万八千八百尺为法除实得日数
求夫式开渠上广二丈四尺下广二丈一尺深九尺长三百八十四尺每夫十二名开积六百尺问该夫几何曰一万五千五百五十二名术并两广得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘长得七十七万七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三万一千二百尺为实以六百尺为法除实得夫数求工式开河长七千五百五十尺上广五十四尺下广四十尺深十二尺每日一工开三百尺问用工几何曰一万四千一百九十四工术并两广得九十四尺折半得四十七尺以乗深得五百六十四尺又乗长得四百二十五万八千二百尺为实以三百尺为法除实得工数
迟速式甲乙二人开河甲每日开积四百尺乙每日开积三百五十尺甲开七十日问乙开多几日与甲同曰十日术以甲开七十日乗每日四百尺得二万八千尺为实以乙每日三百五十尺为法除实得八十日减甲七十日余十日为乙多数
筑法
筑墙式原墙上广一尺下广三尺髙一丈二尺今欲筑高九尺问上广几何曰一尺五寸术以原下广减原上广余二尺以今高九尺乗之得十八尺为实以原高为法除实得一尺五寸乃于原下广内减之余一尺五寸为今上广
式二原墙上广一尺下广三尺高一丈二尺今欲筑高一丈五尺问上广几何曰五寸术以原上广减原下广余二尺以原高减今高余三尺两余相乗得六尺为实以原高为法除实得五寸乃于原上广内减之余五寸为今上广
通曰前式今高少于原高后式今高多于原高故法不同后式可用前法而前式不可用后法也
式三原墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸问高几何曰七尺六寸术以原下广减今下广余一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸为实以原下广减原上广余三尺为法除实得今高式四原墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸问已得高几何曰一丈二尺术以今上广减原下广余二尺四寸以乗原高得四丈八尺为实以原上广减原下广余四尺为法除实得今高
式五原墙上广十尺下广三十尺高四十尺今欲筑至上广九尺问该增高几何曰二尺术以原上广减原下广余二十尺又减原高余二十尺为实以今上广减原上广余一尺为法除实得今高又术以今上广减原上广余一尺乗原高得四十尺为实以原上广减原下广余二十尺为法除实亦合
筑台求积式筑直台上广八尺长二丈下广一丈八尺长三丈高一丈八尺问积若干曰六千尺术倍上长为四丈加下长共七丈乘上广得五百六十尺倍下长为六丈加上长共八丈乗下广得一千四百四十尺并两乘数得二千尺乘高得三万六千尺为实以六为法除实得积
筑堤求积式筑堤东头上广八尺下广十四尺高九尺西头上广二十尺下广二十二尺高二十一尺东西长九十六尺问积若干曰二万八千八百尺术倍东高为十八尺加西高共三十九尺以东上下广并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高为四十二尺加东高共五十一尺以西上下广并得四十二尺乗之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并两折数得一千五百尺乘长得十四万四千尺为实以五为法除实得积
填基式填基东六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土长濶方丈髙一尺为一方问该方若干曰一百一十九方术并东西为十四折半得七并南北为十七折半得八五两折数乗得五十九五又乗高得一百一十九为方数
垜捆【商功之二】
堆垜法
通曰有与少广递加之法相同者两章皆有所属故复衍于此
一面尖堆式一面尖堆脚濶十八问积若干曰一百七十一术用顺加求积法以十九乗十八得三百四十二折半即得说详少广
一面平堆式一面平堆脚七上三问积若干曰二十五术用顺加异首求积法以脚七并上三得一十为实以脚七减上三余四加一得五为法乘之得五十折半即得
四面尖堆式底长濶皆十二问积若干曰六百五十术置底十二以十二加一为十三乗之得一百五十六又以十二加半为十二五乗之得一千九百五十为实以三为法除实即得
四面平堆式底濶八长十三问积若干曰三百八十四术以长减濶余五折半得二五又加半得三并入长得十六以濶乗之得一百二十八又以濶加一作九乗之得一千一百五十二为实以三为法除实即得 四面尖堆即四面顺加四面平堆即长濶顺加说详少广又式横面下十上一正面下十二上三问积若干曰四百九十五术倍正下为二十四加正上得二十七以横下乗之得二百七十再乗横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十为实以六为法除实即得通曰右二式前式若知正面上数可用后法后式可用前法
四面半堆式上长二十五濶十二下长三十濶十七中高六问积若干曰二千四百一十术倍上长得五十加下长得八十乗上濶得九百六十倍下长得六十加上长得八十五乗下濶得一千四百四十五并两乗数共二千四百○五以下长减上长余五并之得二千四百一十乘高得一万四千四百六十为实以六为法除实即得
圆底尖堆式底外周十五问积若干曰六十九术通曰用少广超三递加法首三尾十五得积外加一得四十六又首三尾九得积外加一得十九相并得六十九又加四共六十九为积
通曰凡圆堆每层外周自顶一起第二层是三第三层加三为六从此每层加三故用超三也每次以三为首故每外加顶一也底外周十五用圆包加六率推之内周减六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又减六余三为底中心三上必有一顶故又加四也盖底周至九者必加四至十二者必加十一为率也
三角尖堆式底面七问积若干曰八十四术以底七加一为八乗底七得五十六又以底七加二得九乗之得五百○四为实以六为法除实即得
三角半堆式每面上濶五底濶十二问积若干曰三百四十四术以底濶求出全积得三百六十四另以上尖虚底四求出虚积二十相减余为实积又术上濶自乗得二十五底濶自乗得一百四十四两濶相乗得六十倍下濶加上濶得二十九并四数共二百五十八为实以下濶减上濶余七加一得高八为法除实得二千○六十四又以六除之亦合
砖堆式长三丈高九尺入深四尺每块长一尺濶五寸厚二寸问该砖若干曰一万○八百块术以长为实以每块厚为法除得一百五十块以高为实以每块濶为法除得十八块两除得数相乗得二千七百块又以入深乗之即得
量捆法
木每根大率作长一丈五尺濶五寸以立法至其实数随时求之可耳
一封书式捆深七尺五寸濶四丈七尺长九丈问该木若干曰一万四千八百○五根术倍深得十五根倍濶得九十四根相乗得一千四百一十根为实以长率一丈五尺除长得六根为法乗实得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乗之即得
通曰濶率五寸每尺作二根故深濶皆用倍法
方捆式捆深七尺濶五丈长六丈问该木若干曰八千四百根术倍深作十四根倍濶作一百根相乗得一千四百根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得五千六百根又以濶五丈首加一作一五乗之即得荒排式排深二丈一尺濶四丈四尺长六丈问该木若干曰八千三百七十七根六分术以三除深得七尺倍作十四根倍濶作八十八根相乗得一千二百三十二根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得
通曰相乗固有应得之数而有以虚乗者其数却非应得之数不过借以相求耳如一十七尺五寸乗八千四百六十根应得十四万八千○五十根而今止得一万四千八百○五根者是也首不加一用定身法【见珠算】乗之亦可
数度衍巻十六
钦定四库全书
数度衍卷十七
桐城 方中通 撰
两分差【差分之一】
通曰差分章多用三率法即异乗同除也见九章外法
四六差分法
四之与六加五而已以五乗四得二并四即六以五乗六得三并六即九或以六乗四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法
戊裒四 丁裒六 丙裒九乙裒十三裒五分 甲裒二十裒二分五厘
右五位裒也如六位则以已为首而甲裒更增矣若止四位则以丁为首也后仿此
二等户式派粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户甲六分乙四分办纳甲二十六户乙四十户问各一户各共户若干曰甲一户纳七石三斗二升共纳一百九十石○三斗二升乙一户纳四石八斗八升共纳一百九十五石二斗术甲裒六乙裒四以六乗甲户得一百五十六以四乗乙户得一百六十并得三百一十六为首率以总粮为次率以甲裒六乙裒四为各三率以甲三率六乗次率以首率除得甲一户之数以甲户乗得共数以乙三率四乗次率以首率除得乙一户之数以乙户乗得共数
四等户式徴银一千七百一十六两甲乙丙丁四等户甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分办纳问各若干曰甲七百一十二两八钱乙四百七十五两二钱丙三百一十六两八钱丁二百一十一两二钱术丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分并得三十二裒五分为首率以总银为次率以各裒为各三率
三七差分法
二位者甲七乙三三位者以三为首三因得九为丙裒九用七乗三除得二十一为乙裒二十一用七乗三除得四十九为甲裒四位者以三为首三因得九又三因得二十七为丁裒五位者以三为首三因得九又三因得二十七又三因得八十一为戊裒俱用七乗三除得各裒
【二位】乙裒三 甲裒七
【三位】丙裒九 乙裒二十七 甲裒四十九
【四位】丁裒二十七 丙裒六十三 乙裒一百四十七甲裒三百四十三
【五位】戊裒八十一 丁裒一百八十九 丙裒四百四十一 乙裒一千○二十九 甲裒二千四百○一
三等戸式派粮二百六十一石甲乙丙三等户甲七分乙三分乙七分丙三分办纳甲二十一户乙三十二户丙四十三户问各一户各共戸若干曰甲一户六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一户二石六斗二升五合共八十四石丙一户一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合术甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乗甲户得一千○二十九乙裒乗乙户得六百七十二丙裒乗丙户得三百八十七相并得二千○
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