初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为廉法以亷法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一【倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵数朒故耳】则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商【此当于再开毕后移列甲左葢三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣】次以四乗二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乗负隅仍得二十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乗负隅仍得二百四十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乗四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乗负隅仍得四为隅法以乗商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四 按积和求广初开后必有余积【若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言】求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之【再开所负于三开所益减】但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法葢减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左
一求长而初开后乃有余积此其初商必与求广相同者也既有余积则以亷减纵亦必有余纵【若积余纵负乃是商数过盈非所求之长当改商就朒】且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百【求广求长同】而余积六百四十再开以亷减纵余八十八约余积为八与八十相乗之数而余纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减余纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减余纵得八而以除积正得次商为长一百八十葢只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而余积一千九百四十四再开以亷减纵余九十约余积一千九百【其下小数且置不算也】为四十与五十相乗之数则朒为三十与六十相乗之数则盈而余纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数【宜有余积也】以三十为次商【广不合有一百六十故不用六】以再减余纵得六十而以除积一千八百得次商仍余积一百四十四三开以亷减纵余三十约余积为六与二十四相乗之数而余纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减余纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数【宜负积也】以五十为次商【长不合止一百四十故不用四】以再减余纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以亷减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乗得一十六减负积尽为长一百五十四葢始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云【右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乗取省文便览也又自此以下凡积纵商亷诸数百则曰百千则曰千而不复着甲乙之位非前后互异正取参观以相发明耳】
一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商以乗负隅为隅法以乗商减负积【既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可】如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以亷减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乗得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以亷减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乗得四百减负积三开以亷减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长一百二十五【负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵亷相减负纵即是余亷而在负隅法中方亷隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是余负亷也】
一以亷减纵有余纵不可以除负积者约计当得次商若干以乗负隅为隅法再减余纵纵负则以负纵除负积合次商【负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有余纵则以隅法相减】如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以亷减纵余三即约九为次商以再减余纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也
一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除【隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者也】而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商【若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也】以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积【余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣】而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商【不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也】以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八
右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也【若以一为隅算则与无隅算同商亷固即是隅算之一也】以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云
平方以斜径求方 法以斜径自乗为实以二为隅算开方 假如方田斜径七十步求方者以斜径自乗得四千九百为实以二为隅算初商四十以乗隅算得八十为方法以方法乗商得三千二百减实再开倍前商得八十以乗隅算得一百六十为亷法以亷法除实一千四百四十得九为次商又以次商乗隅算得一十八为隅法以隅法乗商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乗隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也 按斜径自乗之实倍方积故以二为隅算开之【或不用隅算以斜径实半之开方亦得】旧説率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
平方以方求斜径 法倍方积开方
大小两方以共积及两方互乗数求大小方 法倍两方互乗数减共积开方得两方较乃以两方互乗数为实以较为带纵用带纵并方亷开之【言并方亷而或用减积可知不待言也他仿此】得小方或以较为负纵用负纵减方亷开之得大方
又法倍两方互乗数并共积开方得两方和乃以两方互乗数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按此葢以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乗数句股相乗长方积也故倍互乗数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乗数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳】
大小两方以共积及两方较求大小方 法以较实减共积余为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方 假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乗得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乗隅算得一百四十为方法先以负纵乗商得三千九百二十益实乃以方法乗商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十为亷法约计次商当得四以乗隅算得八为隅法先以负纵乗商得二百二十四益实乃以亷法除实一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二减实尽得大方七十四【此以隅算负纵益积法为例余可类推】
大小两方以共积及两方和求大小方 法以和实减共积余为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也】
大小三方以共积及三方之两较求各方 法以两较实减共积余为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较【可知中方近小方也】则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方亷开之大与中之较朒于中与小之较【中方近大方也】则倍较较为负纵用隅算负纵减方亷开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方
大小三方以共积及三方之两和求各方 法以两和实减共积余为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方【按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有余实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有余纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳】
右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积余为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方亷开之求甲方者用负纵【若四较皆以甲方为主即先求甲方也 甲大戊小】并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有説假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之余则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣【乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之】丙丁仿此其以和求者只如
右法云
三广田以积与三广之两较及长广较求长广 法以中广与长之较为带纵【必以中广为主此算三广之定法 既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳】以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵【长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵】而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方亷兼减积开之【带纵法以并方亷为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并亷者亷固统长广两边不妨并两纵也】旁负纵者用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之【带纵既用并方亷法而两纵分属长亷两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减亷者亷统长广两边不妨且并且减也】得中广 假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乗旁带纵得八百四十七减积乃以方法乗商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为亷法约计次商当得八为隅法先以隅法乗旁带纵得八十八减积乃以亷法除积六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四减积尽得中广一十八【各加较得南广二十六北广五十四长八十五】或再开以旁带纵并入亷法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷
又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步
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