股较二较求句股得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长
又例 人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问防人各分帛防匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数【句股积乃句股相乗数之半故用八乗此只当用四乘】
又例 方城不知大小四靣正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为余句南门外为余股余句余股求容方得一百五十歩倍之为城方【所求容方止城方之半故倍之也】
又例 方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外余句直南为内余句西行为股两余句与股求离股容方得二百五十歩为城方【此已是城之全方故不用倍】
又例 城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒防问歩卒南行歩防何马卒东行西南行歩各防何法以南行为股东行为句西南行为歩行率为股率马行率为句和率城方之半为容方容方与股率句和率求句股得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩
九章录要卷十一之一
钦定四库全书
九章录要卷十一之二
松江屠文漪撰
句股图说
句股及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云
周髀句股员方图
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要,卷十一之二>
句股相求 左右圗幂中有句股二幂之实故句股三者举两数则其一可知也
句股较句股和积相求 圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一【黄实是也】幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和积四者举两数则其余可知
句与股较求股 句实以股较为广股和为长【谓在幂内股幂外者若股实则以句较为广句和为长也】观左右图可见而后圗更显
全圗为幂内分一股幂即其余皆为句实而黄实固股较幂也青实之广亦股较也则句实以股较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两法应并而半之则句实以股和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得也倍较除犹之半其实也股与句较求句仿此不复为圗【右圗说新订】
句与股和求股 前以股较除句实得股和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句则非后圗不明
全图为股和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股较幂青实之广皆股较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一幂夫幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股较为广股和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除犹之半其实也股与句和求句仿此【右圗说新订】
句较股较求和较 两较相乗之幂二当和较之幂一各为图以相比则明
此图以股和为广倍句和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句较而黄实固两较相乗之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩幷朱实成句矩幷青实成股矩然则此圗中并得句矩股矩各四而存黄实为两较相乗之幂者二也乃以第二圗参之
此圗为和和幂于其内分句矩股矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句矩股矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之
此圗亦和和幂而纵横俱截一句一一股分之则一幂旁加一句股矩一句矩一股矩合为长方形固句和股和相乗之幂【句和为广股和为长是两和相乗之幂也】而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句幂股幂并之成幂一是亦一句和股和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也【右三圗并说新易】
句和股和求和和 两和相乗之幂二当和和之幂一观前两较求和较第三圗已明不复赘【右旧有圗说新删】
句和股较求较较 一和一较相乗之幂二当较较之幂一
全圗为句和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股较股较乗句和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句和即较较【原以一句一幷今减股则句尽而内且减一句股较矣存者宜为较较也】则两朱实一黄实一句幂并固较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代较较幂中之句幂矣故知较较幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新增】
句较股和求较和 一较一和相乗之幂二当较和之幂一
全图为股和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句较句较乘股和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股和即较和【原以一股一并今以句减股犹余句股之较并入故为较和也】则两朱实一黄实一股幂并固较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代较和幂中之股幂矣故知较和幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新増】
句股求容方
句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方旣四边等试以容方外余句言之余句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外余股言之余股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也【右图説新订】
容方余句余股相求
全图为句股矩幂于中斜界一平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而余句余股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方余句余股可互求也【右图説新订】
容方与句求股
余句与股相乗之幂犹容方邉与句相乗之幂何也余句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其幂宜等也故以句乗容方以余句除之得股也【容方与股求句仿此 右图説新増】又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青旣皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也
句上容方
股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则余句为小句半方边为小股而若以方边为小股即余句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方仿此不复为图【右图说新增】
九章录要卷十一之二
钦定四库全书
九章录要卷十一之三
松江屠文漪撰
句股测望法
句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左
表测髙 城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率 五【人足距表尺数 按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙】二率 六【表减目髙尺数 减表为三率】
三率 二十五【表距城趾尺数】
四率 三十【求得尺数加表十尺得城髙】
表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权鎭之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竪立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筩如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确
表测深 井不知深【谓水靣以上至井口非谓水深也】量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对靣水际相参直人目入井径四寸问井深
一率 四【目入井径寸数】
二率 三十【表髙寸数】
三率 四十六【井径减目入寸数】
四率 三百四十五【井深寸数】
表测逺 江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔
一率 二【人目减表寸数】
二率 一百六十【人足距表寸数】
三率 三十八【表髙寸数】
四率 三千零四十【江阔寸数】
又如大湖不知阔防何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔
一率 二【人目减表寸数】
二率 二百五十【人足距表寸数】
三率 六千五百三十八【壁表相并寸数】
四率 八十一万七千二百五十【湖阔寸数以里法三百六十歩歩法
五尺通之得四十五里一白四十五歩】
两表测广 城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率 二【人足距东表歩数】
二率 三十【两表相距歩数】
三率 四十【东表距城歩数】
四率 六百【求得歩数加两表间三十歩得广】
四表测逺 山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三靣表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率 五之二【立处距右后表尺数化为歩数】二率 十二【右两表间歩数 按右例四表中间正方或作长方形亦可】三率 十二前【两表间歩数 耳】
四率 三百六十【石逺歩数】
按右诸例皆句股容方及容长方以余句求余股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重测为稍异耳
四表测逺又法 山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右【或左亦同】任意逺近立乙表甲乙表间为大句【句股之角须令正方下小句股同】次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺
一率 三【小句歩数】
二率 二十四【小股歩数】
三率 四十【大句歩数】
四率 三百二十【石逺歩数】
两表重测广逺 方城隔水不知城东西广防何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差
一率 四十【东西表相距歩数】
二率 七十二【后北行距表歩数】
三率 一十【入索歩数】
四率 一十八【景差歩数】
次求城广
一率 一【前北行距表减景差余歩数】
二率 三十【东西表相距减入索余歩数】
三率 一十七【前北行距表歩数】
四率 五伯一十【求得歩数加表间四十歩得城广】次求城逺
一率 一【同上】
二率 五十四【后北行距表减景差余歩数】
三率 一十七【同上】
四率 九伯一十八【城逺歩数】
重表测高逺 海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表
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