表端齐人目高三尺问岛高
一率 二【前后退行距表歩数相减余尺数】
二率 九【表减人目髙尺数】
三率 八百【前后表相距歩数化为尺数】
四率 三千六百【求得尺数加表十二尺得岛高】次求岛去前表逺
一率 二【同上 按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也】二率 八百【同上】
三率 三百四十八【前退行距表歩数化为尺数】四率 一十三万九千二百【岛逺尺数】
按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竪表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也
矩测髙 城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高
一率 八【直景度 按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以】二率 十二【矩度 城髙减目为三率也】
三率 二十四【距城尺】数
四率 三十六【求得尺】数【加目高四尺得城髙】又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高
一率 十二【矩度】
二率 八【倒景度】
三率 三十【距墙尺数】
四率 二十【求得尺数加目高四尺得墙髙】
矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之
共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审 直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也【假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之 在倒景四度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙畧同前测髙例从髙测景畧同后测逺例】今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也【亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之便】其当以倒景度为一率者仿此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乗为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之
矩测深 井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对靣水际相参直权线在直景三度问井深
一率 三【直景度】
二率 十二【矩度】
三率 五【井径尺数】
四率 二十【井深尺数】
又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深
一率 十二【矩度】
二率 七【倒景度】
三率 二十四【池径尺数】
四率 一十四【池深尺数】
矩测逺 溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔
一率 三【倒景度】
二率 十二【矩度】
三率 十二【人目溪岸并尺数】
四率 四十八【溪阔尺数】
矩测广 城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广
一率 六【倒景度通为分数】
二率 六十【矩度通为分数】
三率 三十【距城歩数】
四率 三百【城广歩数】
重矩测髙逺 山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率 二【两倒度俱变直度相减余度数】
二率 十二【矩度】
三率 四百【两测处相距歩数化为尺数】
四率 二千四百【求得尺数加目四尺得山髙】次求山去前测处逺
一率 二【同上】
二率 四百【同上】
三率 十六【前测倒度变为直度】
四率 三千二百【山逺尺数】
按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竪为髙一理也知此可以通彼不复为例
重矩测深逺 石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺防何及石壁直下至水面防何深者边壁竪木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺
一率 二【两倒景相减余分数】
二率 六十【矩度通为分数】
三率 一十【两测处相去尺数】
四率 三百【水逺尺数】
次求前测处至水靣深
一率 二【同上】
二率 一十【同上】
三率 二十二【前测倒度通为分数】
四率 一百一十【壁深尺数】
按此乃以测广法测逺以测逺法测深也法无多端特用有变化耳【右一条新订】
半矩尺测逺 溪不知阔就溪沿立表髙五尺以矩尺缀表端矩角与表端齐从矩角望矩外端与对岸水际相参直乃回望矩内端所指处平地去表四寸问溪阔
一率 四【尺指处距表寸】数
二率 五十【表高寸数】
三率 五十【同前】
四率 六百二十五【溪阔寸数】
按半矩尺若于两端俱画分寸以测高深广逺亦与矩度及表相类而不如矩表之便故略而不论此特取其简易者附矩表之后云更有水景测高法置盂水【或用镜亦同】稍推移之令人目见所测物景正当水之中心乃以人目至足为小股人足至水心为小句水心距所测物之趾为大句以求大股又有日景测髙法量所测物景别立短表量其景乃以表高为小股表景为小句物景为大句以求大股二法若遇逺峰遥岛旣不免于技穷而且目取水心之景则分寸易差日当隂晦之时则测量恐废俱非通术吾无取焉
九章录要卷十一之三
钦定四库全书
九章录要卷十二
松江屠文漪撰
借徴法
衰分盈朒方程之外更有借徴之法盖借衰原于衰分疉借原于盈朒而触类通之可以穷难知之数此九章法外之巧也故以次九章之后
借衰互徴 借衰者本无正衰而借立虚数为衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦从其便假如商贩不知其母初往获息当母十之三以并入母再往获息当母五之三以并入母又往折阅四之一又往获倍息【母一子亦一也】以并入母又往折阅六之一亦不知实在总银防何只云更须银十两即所获子银为原母数者二问原母及总银其法任意借一数为原母且如原母十两如前计之当得总银二十六两若论母一子二则不足四两以四两之原母及总银推之而不足十两者可知也
一率 四【借衰不足两数】
二率 十【借衰原母两数】 二十六【借衰总银两数】
三率 十【所问不足两数】
四率 二十五【所问原母两数】六十五【所问总银两数】
又如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各防只试借大小各六为船衰计总载兵一千四百五十名以一千四百五十名所须之船推之而四千三百五十名所用船可知也
一率 一千四百五十【借衰兵数】
二率 六【借衰船数】
三率 四千三百五十【所问兵数】
四率 一十八【所问船载】
按右例用借衰法较之衰分章用互乗者倍防【右一条新增】
又如漏壶注水三时而满泄水八时而尽问且注且泄防时满一壶即借十二时推之凡注四壶泄一壶半相减得二壶半
一率 二壶又二分壶之一
二率 十二时
三率 一壶
四率 四时又五分时之四
又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满防何亦借十二时推之注泄相减得二壶半
一率 十二时
二率 二壶又二分壶之一
三率 五时又三分时之一
四率 一壶又九分壶之一
又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即任意借一数算之且如借银二两加三度倍息得一十六两为用银之衰于十六两内减母二两余十四两为母银之衰
一率 十六两
二率 十四两
三率 三百两
四率 二百六十二两五钱
右例说见衰分章参观自解其意也【若四度五度而尽者即加四度五度倍息如法算之 以上四条并已见衰分章】
叠借互徴盈数最难知则两借虚数以徴之盖彷佛盈朒之法然原数初无盈朒而盈朒生于借数乃因其盈朒推求眞数立法尤为竒巧假如米每石价二两麦一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各防何试借米三十石用价六十两则麦一十石当用价一十六两计价总七十六两以比原总盈二两列左又借米十五石用价三十两则麦二十五石当用价四十两计价总七十两以比原总不足四两列右盈不足相并为法米麦各以所借石数及所借用价数左右互乗盈不足数相并以法除之即各得所求正数若两盈两不足者为法之数及互乗得数皆相减【与盈朒章同】
右例借衰或据价原总数算之而以总石数较原总以得盈朒如法乗除亦合
又如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫多于罗每匹六钱罗多于绢每匹八钱问三物各价防何试借二两为绫价一两四钱为罗价六钱为绢价计价总六百两比原总不足二百列左又借三两为绫价二两四钱为罗价一两六钱为绢价计价总一千一百两比原总盈三百列右三物各以所借价数互乗盈不足数如前法求之即各得正价又如赏军每马兵五名给防三匹每歩兵四名给布六匹总马歩共八千一百名给防布共九千匹问马歩各防何防布各防何试借马兵四千给防二千四百则歩兵四千一百应给布六千一百五十计总防布八千八百五十比原总不足四百五十列左又借马兵五千给防三千则歩兵三千一百应给布四千六百五十计总防布七千六百五十比原总不足一千三百五十列右马歩防布各以所借数互乗两不足数如法求之即各得正数右例借衰或据防布原总数算之而以马歩总数较原总以得盈朒如法乗除皆合【右一条新増】
又如大船四橹四小船二橹八今但见总作橹一百张二百零八张问大小船各防何试借大船二十橹八十小船一十橹二十则大船桨八十小船桨八十总一百六十比原总不足四十八列左又借大船十五橹六十小船二十橹四十则大船桨六十小船一百六十总二百二十比原总盈十二列右大小船及大小船橹桨各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数【右一条新增】
右例借衰或据桨原总数算之而以橹总数较原总得盈朒如法乗除亦同
又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即借三百为母三度后当用六百固盈三百列左又借二百五十为母三度后止应用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足数如法求之得原母【右一条新增】右例已见借衰互徴旣可单借而得则不须叠借矣举此以见法之无穷耳凡单借可得者亦可叠借而得若须叠借而得者往往非单借所能得也【以上五条并已见衰分章】
又如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须防日法
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