千合之类是也】而终不尽也即如二四五八等除但破实之一为十与百千自无不尽而若不破实则仍不尽矣前除既破实以至于尽后除势不中止此于命分反逺特求分厘数者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分厘数既得分厘数而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取防岂须借径此其宜审者也更恐前除破实且不尽则虽求分厘数亦未能精细故所分之除法孰先孰后【大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末】又不可不审总之运算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有银四百五十两用一百六十八除若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四即不复破实细除但约之为二十八分两之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除【以原数四百五十故先用三除若系三百五十便当先用七除次八次三也】得二两六钱七分八厘五毫七丝又七分丝之一【尚可再除而数微已甚矣】倘欲以两命分则惟二两整数已定外余须以原法乗之乃得一百一十四之数仍再约之反不防也【右一条新增】
乗除相减归一法 数须乗除并用而可用乗省除或用除省乗则归一尤为至便如数须一十八乗复三除者直以六乗之须四乗复十二除者直以三除之其法乗数多则从乗除数多则从除而必先取乗除两数以少除多除之可尽即用除得之数不可尽者不能归一也省乗用除倘有零余则约分简易更非原数乗除之比【右一条新订】
两数一半一倍乗法 置两数欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得数同如一数五百二十五一数三十二倍上数为一千零五十半下数为一十六乗之视以原数相乗者防矣此特宜于数之少者葢直可以臆计而不烦布算也【右一条新增】
倍除法 置两数欲以法除实者若倍其法除之所得数亦倍之即应得之数如有数须四十五除则用九十除须一百三十五除则用二百七十除亦倍所得数防于以原法除也遇零分欲求分厘数者依此除之若欲命分则仍其子还用原母【即原法也】以命之或须约者更约之满原母者归整为一数俱不用倍【右一条新增】
乗除通用法 二乗与五除同二除与五乗同【置银十两以二乗之得二十两以五除之得二两其差十倍然而可通用者其乗除俱得二数则同耳】 四乗与二五除同四除与二五乗同【其差百倍】 八乗与一二五除同八除与一二五乗同【其差千倍】
以加减代乗法 假如有数须八乗者即于实下一位减二若实数系五二五当减一十则于实之本位减一也有数须一零五乗者即于实下第二位加五若实数系二二五当加一十则于实下一位加一也加减俱从小数始
三率准测乗除法 数有已知者因以测所未知则列前三率求后一率先定三率之位第一率与第三率相准第二率与未知之第四率相准如谷准谷钱准钱之类乃以二率三率相乗为实以一率为法除之得四率为所求数旧名异乗同除【左例原银与原米是为同今银与原米是为异】
假如原有银三十六两籴米四十八石今银六十三两问米几何
一率 原银三十六两
二率 原米四十八石
三率 今银六十三两
四率 八十四石为今米数
右法若先以一率除二率得数乃以乗三率或先以一率除三率得数乃以乗二率所得四率皆同但除之不尽必用零乗之法则不若从前先乗后除为防【凡数须乗除并用者每以乗居先仿此】
右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
三率化多为寡乗除法 别求一通数可以除尽率中之两数者【其一必系第一率其一或第二率或第三率】即以通数除率数所得数列本率下以代率数乗除如前无通数者则否
一率 三十六 三【此以十二为通数】
二率 四十八 四
三率 六十三
四率 八十四
又式
一率 三十六 四【此以九为通数】
二率 四十八
三率 六十三 七
四率 八十四
三率易位乗除法 前法以原银原米相连置一二率而今银置三率葢以二率视四率犹以一率视三率三率视四率亦犹一率视二率其数可例推也若如左例原珠数多其价数反少今珠数少其价数反多必以一率与三率互换其位而后三率之视四率亦犹一率之视二率矣乗除如前得所求数旧名同乗异除【若如前置率则当以一率二率相乗以三率除之】 假如原有小珠五十颗今有珠稍大三十颗其总重适等原珠共价银一十二两问今价几何
一率 今珠三十颗 三【以十为通数】
二率 原价十二两
三率原珠五十颗 五
四率 二十两为今价
又如有物一枚以称称之称小不及其锤重十两外加一锤重八两称之得三十五斤依小称算该几斤一率 原锤十两 二【以五为通数】
二率 今重三十五斤 七
三率 并两锤十八两
四率 六十三斤为实重数
又如原称称物重三十五斤失原锤欲别作锤配之不知轻重却借一锤重十两以较原称之物得六十三斤问原锤重
一率 原重三十五斤
二率 今锤十两
三率 今重六十三斤
四率 十八两为原锤重
【此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也】
三率重测法数或繁襍非三率可尽当叠用三率之法次第推之
假如原母银五十两三月得子银四两今母银二百两欲得子银二百两须几年
一率 原母五十两
二率 原子四两
三率 今母二百两
四率 十六两为今母三月之子
又
一率 子十六两
二率 三月
三率 子二百两
四率 三十七月二分月之一为所求数
右例亦可用并法
一率 原子四两
二率 原母乗三月得一百五十两
三率 今须子二百两
四率 七千五百两为今母乗月之数再以今母除
之得月数
又如客贩布卖之每匹二钱即母银百两已得息三十两设每匹卖二钱四分则百两获息几何
一率 已得息并母一百三十两
二率 母一百两
三率 布价二钱化二十分
四率 十五分又十三分分之五为每匹母银别有防法应补于后
一率 二十分
二率 一百三十两
三率 四分
四率 二十六两
并三十两得五十六两
又
一率 每匹母十五分又十三之五
二率 布价二钱四分内息八分又十三之八三率 母一百两
四率 五十六两为所求息数
又防法
一率 二十分
二率 一百三十两
三率 二十四分
四率 一百五十六两
此为母子并数
三率并乗并除法数虽繁襍而可归并入三率之内则以三率尽之
假如炼矿求银初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得银七十五两问原矿几何一率 三子相乗得三十
二率 三母相乗得八十四
三率 炼得银七十五两
四率 二百一十两为原矿
又如原有绫八匹换纱二十匹原纱三十匹换布一百匹原布六十匹换锦二匹今有绫一十八匹问换锦几何
一率 原绫纱布乗得一万四千四百
二率 原换纱布锦乗得四千匹
三率 今绫一十八匹
四率 五匹为换锦数
乗除先化大小数法 凡数大小杂见不便相乗除则先以大数化为小数假如原有银六钱买丝七两今有银五两问买丝几何此因银数有钱复有两须化两为钱其丝自作两算不必化钱也大凡同类者须化殊类则否【遇多数取最小数为主以大数化之仿此如一十二两三钱四分化为一千二百三十四分之类】
一率 六【原银钱数】
二率 七【原丝两数】
三率 五十【今银化为钱数】
四率 五十八又三分之一【今应得丝两数】
右例亦可以钱从两化之而不如前法之防
一率 五分之三【原银化为两数】
二率 七【原丝两数】
三率 五【今银两数】
四率 五十八又三分之一【得丝两数同前】
又如原银六钱二分五厘买丝七两今银一百三十二两问买丝几何此若以大数化小则原银今银当悉化为厘而原银数固可以两命分又不如从两化之为便所贵乎随宜通变者也【因今银是以两计而化之非为丝以两计也】
一率 八分之五【原银化为两数】
二率 七【原丝两数】
三率 一百三十二【今银两数】
四率 一千四百七十八又五分之二【今应得丝两数右一条新增】
九章録要卷一
钦定四库全书
九章録要卷二
松江屠文漪撰
零分法
几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乗除乃能尽九章之术故备论于左
竒零命分约法 以法除实除得数为整数余实少于法除之不可乃成竒零或原实先少于法则无整而但有零矣【假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也】凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法余二十八乃以余法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也【前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者耳葢三法小异而理则同】亦有不可约者即以法为母实为子命分
整带零分化整为零分法 凡以法除实务得数归整值余实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乗除者耳若更有他数须与之相并减相乗除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整【必归整无零分方可归整也】即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乗除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乗整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也
零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法
零分与整相减法 零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】
零分相并法 诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗 或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】
右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】
零分相减法 零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也
零分与整相乗法 零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】
零分除整法 以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】
整除零分法 以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也
零分相乗法 两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也【或两母同或两
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