仅知有前例而无后例则法有所穷故特出此条其实前例亦暗寓头数一回乗也【补襍差分第六第七条 右一条新增】
九章録要卷五
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书
九章録要卷六
松江屠文漪撰
少广法
古九章四曰少广以御积幂方员
开平方法 平方开除先列实视实有几位【凡实之大数从千起者四位从万起者五位葢实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚位一定不可易也】即知须几开而尽【凡经再开者开得平方大数从十起三开者百四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也】率实两位而一开逆从实尾向左数之【尾在右也】至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰亷曰隅【方法亦谓之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法】初开视实首位以起方法实首一位开者【一位之实多不过九】取三及以下数自乗两位开者【两位之实少不下十一】取三及以上数自乗所取以自乗之数初商也列实首之左【亦有不列于左而即借实首位列之者説详于后】自乗所得数用以减实是为初开余实须再开则用亷法亷法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乗得数用减实讫【于亷法下一位减之观后假例自明】是为再开自三开以后俱仿此
【或问亷隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一亷其长如前方之数亷有二故倍之也此未及亷之广以除实得次商次商乃亷之广数而所加二亷其长各如前方之数则二亷相防之一角犹缺一小平方其四边皆与亷之广等故又以次商为隅法而自乗以足之也】
假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乗仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二【前方是一百倍之为二百而此且勿论也但谓之一谓之二可耳】为亷法以二除乙之五【乙丙两位为再开之位而亷法当于乙位除隅法当于丙位除也】则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乗得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四【前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然】为亷法先以二除丙之七【丁戊两位为三开之位则亷法当于丁位除而亷法有二十四即二当于丙位除四乃于丁位除也】则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乗得一十二于丙丁两位减之【亷之四当于丁位除而与商乗得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然】则并去丙之一丁之二又以隅三自乗得九于戊位减之适尽得方一百二十三
又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五【甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也】且取六为初商列甲之左而以六自乗得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为亷法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商【不用 者以八开之则实不足也】次以二与七相乗得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乗得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为亷法先以一除乙之一【戊己两位为三开之位则亷法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以亷一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳】则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二【乙之一丙之十也试列十于丙而以亷一除之与此同则除乙犹之除丙耳】次以三与八相乗得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乗得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乗得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八
又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乗得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为亷法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商【此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合观二例其义益明】乃以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得方二十六
开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乗得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为亷法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣【丙丁为再开之位则亷之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而甲位空矣可知无次商宜便接三开也】三开倍八十得一百六十【前方八下有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之】为亷法仍先以一除乙之一【戊己为三开之位则亷法当于戊位除而亷法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有实又须以除丙之法除之葢除乙犹之除丙其説已详前二例矣 三商自当在乙位也】则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乗得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九
开方初商列位法 凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属亷丙属隅也亷法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属亷丁属隅也亷法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣【五以上更不必言】若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎【四以下更不必言】且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为亷法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乗得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣葢开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳
又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乗减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎葢丙丁为次开之位而亷法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣
开方余实命分法 开方余实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之【倍方者亷法加一数者隅法】假如实五十五开得方七而余实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也
开方求零分密法 开方余实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乗见积颇朒于原实则法犹疎也且如实二十开得方四而余实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乗以见方积母得八十一【此原实一之方积也葢一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣】子得一千六百【此总方积也】以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十【倍之为亷法也】为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣
又法如实二十开得方四而余实四但倍方为分母不复加隅而以余实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乗以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九【本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法】以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减【此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以亷法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以亷法除所盈之数而与之相减也】得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同【按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也】
右二法开方自乗得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开
又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乗以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者仿此
零分开方法 原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十【此只依命分之数聊示其法耳未及密率也】此当用整除零分法以三乗九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乗三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乗九为母以五乗四十为子得方一百一十七之二百也葢原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云
长方以积与长广较求长广 法以四乗积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
长方以积与长广和求长广 法以四乗积减和实开方得长广较 按四乗积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乗之小平方故知和实中有四积一较实也【二法亦见句股章彼以八乗积者句股之积半长方积也】右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者葢变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左
带纵并方亷开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方亷开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法【常法以方与商为一此以方与商为二】乃以乗商减实再开倍前商亦以带纵并之为亷法以除实得次商其隅法如常
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二【须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦然】为方法乃以方法乗商以三乗二得六【此处只作二与三且勿论其为二十与三十可也】于甲位减之【依常法商二自乗当于甲位减今与方法三相乗亦同也】则减甲八为二次以二乗二得四于乙位减之【六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之亷位也】则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并
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