并纵得五十二【倍商是四十也 倍商不倍纵】为亷法先以五除甲之二【倍商之四当于乙位除因带纵首之一而成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳】则改甲二为四为次商次以二乗四得八于丙位减之【五于乙位除则二当于丙位除故亷法而减及隅位也】则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乗得一十六减乙丙两位实尽得广二十四【并较得长三十六】
又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位【戊己为虚位】带纵七百二十初商得二【若商三则并纵首之七为一十又与商乗得三十而实首只二十三不足除故用二】列甲左【不列甲位者带纵故也】而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乗商以九乗二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乗二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为亷法先以一除乙之四【倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也】则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乗四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乗四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乗得一十六减丙丁实并尽得广二百四十【并较得长九百六十】又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为亷法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣【倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也】三开倍前商一十得二十【此一与二皆百也谓之十者依常法】并纵得二百七十二为亷法仍先以二除乙之二【倍商之二十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乗八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八【并较得长一百八十】
又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之【若初商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也】初商得九【此当借列实首甲位】而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乗商以一乗九得九于乙位减之【初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一十六则此一当进而于乙位减】则去甲之一加乙六为七次以六乗九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乗九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为亷法先以二除乙之一【倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乗六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乗六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乗得三十六减丁戊实并尽得广九十六【并较得长一百六十八】
又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一【初商是百而纵乃至千故只可用一】列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之【方一百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位】则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为亷法先以一除乙之四【倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开仿此】则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乗三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乗三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乗三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乗得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为亷法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乗六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乗六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乗六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乗得三十六减戊己实并尽得广一百三十六【并较得长一千二百二十四】
带纵减积开平方法 长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乗商减实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以带纵乗商减实乃以亷法除实合次商其隅法如常
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而
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