之底定尺展规于四十九防取其底
即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】 或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底而取平方二十五防之底亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一防之底定尺有假如在用法七】
用法二 凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形但形相似即为同类】假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为
底二防为定尺【若用第二形之边为底定尺即用三防为】而于十六防又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等
若但有同类之形而不知面积亦
不知边数则先求其积之比例如
甲乙丙丁方形四法以小形甲之
边为底平方线第一防为定尺
次以乙形边为底进退求等数得
第二防外又五分之一即命其积
为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次
丙形边为底求得【二又四之三】丁形边
得【四又六之五】并诸数及甲形一得【十又
六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上
寻十防外十一防内之距取其五
之四为等数之两【即十一弱】用其底
为大方形边其面积与四形并数
等
【此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上】
用法三 平面形求作一同类之他形大于设形几倍
【以设形之邉为一防之底定尺】 假如有正方形面
积四百其邉二十今求别作一方形
其容积大九倍法以设形邉【二十】为平
方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍】
用法四 平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】 假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法
用法五 有两数求中比例【即三率连比例之第二率】
假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八防之底而取二防之底得四如所求
二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率
用法六 有长方形求作正方形 假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等
直八尺横二尺 其积一十六尺
方形各边并四尺其积亦十六尺
用法七 有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例
假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一防之底而取二十五防半之底得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱】
第三更面线
【凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求】
分法
置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号
用法一 有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边
假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根【依前卷用法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平方一防之底定尺而于其二十七防十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求
用法二 有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积
假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方下同】书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半【其法以甲
邉为平方十防之底定尺而以乙所变方边进退求等度之命之】即
于乙形作方底线书之次以丙圆径
为平圆号之底如前求得十六弱并
三数得四十七半弱为总积【此因三形之邉
无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其
所变方邉定尺则所得皆真数如上
三形但知丙形之积十六【或十六尺或十六寸】
【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也
末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形并同一法】
用法三 有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底
假如有三角形欲改平圆则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底定尺而取平圆号之底求其数命为平圆径所作平圆必与所设三角形同积
用法四 有两平面形不同类欲定其相较之比例如前法各以所设形变为平方
假如有六邉形有圆形相较即如法各变为平方求其数平圆数二十六邉数三十六即平员为六邉形三十六之二十以二十减三十六得十六为两形之较
第四立方线【旧名分体线 凡平方形如棊局其四邉横直相等而无高与厚之数立方则如方柜有横有直又有髙而皆相等平方之积曰平积亦曰面积亦曰幂积如棊局中之细分方罫立方之积曰体积亦曰立积并如骰子之积累成方】
【旧图误以尺枢心甲书于一防上今改正甲乙一亦即一十则其内细数亦不平分旧图作十平分亦误今删去】
分法有二一以算一以量
以算分 从尺心甲任定一防为乙则甲乙之度当十分邉之积为一千【十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其积必千寸】纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同
防法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图
【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意】
又防法用立方表
以量分 如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之则二若求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加 三加者即四率连比例也】
几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第二率也】
假如有立方体积又有加倍之积
法以两积变为线【元积如辛庚倍积如辛巳】作
壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚
两各引长之以形心【戊】为心作圈
分截引长线于子于午作子午直
线切辛角【如不切辛角必渐试之令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积
若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】
解四率连比例之理
试于辛防作卯辛为子午之垂线次
用子壬度从午作卯午直线截卯辛
线于卯又从卯作直线至子又从辛
防引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成
各句股形皆相似而比例等
【卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例
等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股
则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也 卯辛子句股形从辛正角
作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等 卯辰辛形卯辰为句辰
辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子
亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例】
一率 辛庚 即午丑
二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯
三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯
四率 己辛 即辰子
试法 元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉
又取二倍邉倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八倍体积之邉【六十四其二也】
三加比例表【平方立方同理即连比例】
第一率第二率第三率第四率
按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也【比例规觧乃云本线上量体任用其邉其根其面其对角线其轴皆可其説殊不可晓今删去】
用法一 有立积求其根【即开立方】
假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一防之底定尺而取四十防之底得三十四强即立方之根【説见平方】
用法二 有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率用作本线一防之底而取大数之底为二率既有二率可求三率
假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一防之底定尺而于八防取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率
一率三 二率六 三率十二 四率二十四
用法三 设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】
假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一防之底定尺而取八防之底得四十即大体邉如所求
用法四 有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得
假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一防之底定尺而取四十一防之底为总体邉如所求 若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之
用法五 有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一防之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八防取底为较形之邉
用法六 有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八防之底定尺而于五防取底为邉作立方体即其容为设体八之五
第五更体线【旧名变体线】
体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体
六等面体各面皆正方即立方也有
十二棱八角测量全义曰设边一百
求其容为一○○○○○○
浑圆体亦曰球体即立圆也几何补
编曰同径之立方积与立圆积若六
○○○○○○与三一四一五九二
设径一百求其容为五二三五九八
此三角平面形相合而成有六棱四
角测量全义曰设边一百求其容为
一一七四
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