即正之半度而半度亦可取用为尤便也
如图甲乙为通甲丙乙丙皆正
用法一 有设弧求其正法以九十度当半径假如有七十五度之弧求正即以本圈半径为正线九十度之底定尺而取七十五之底为正如所求
用法二 有弧度之正数求径数则以前条反用之假如有七十五度之正数即用为本线七十五度之底定尺而取其九十度之底得半径数
用法三 句股形有角度有求句求股法以当半径正当句与股
假如句股形之二丈有对句之角
三十度即取平分线之二十当数
为正线九十度之底而取三十度
之底得一十即其句一丈
又于其角之余【即六十度正】取底得【一十七又三之二弱】即其股为【一丈七尺三寸二分】
若以句求则反之如句一丈其句与所作之角为六十度其余角三十度即取一十数为三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其二丈
用法四 三角形以邉求角 假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉数为丙角正之底定尺而以甲丙
邉为底进退求其等度取正线上号为乙角度如所求
用法五 三角形以角求邉
假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉为戊角正之底定尺而取己角正之底得数即为庚戊邉如所求 余详三角法举要
用法六 作平仪求太阳二至日离赤道纬度
如图以十字分大圆直者为两
极横者为赤道横直交于圆心
即地心也赤道即春秋分日行
之道也地心至两极半径为正
线九十度之底定尺取二十
三度半之底于地心上下各作防于直线于此防作横线与赤道平行为二至日道近北极者夏至近南极者冬至也
又求作各节气日道
法先求黄道线
法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半径为九十度之底定尺每十五度正取底移至黄道半径上【并从地心起度】
于地心上下各识之即各节气日躔黄道上度也【或三十度取底则所得皆中气】
乃自黄道上各防作直线并与赤道平行即各节气日行之道此与分至日道皆东升西没一日一周者
也其各线两端
抵大圆处即各
节气赤道纬度
也春分以后在
赤道北秋分以
后在赤道南
试法于二至日道两端作横线聫之【如甲乙】次以此横线之半为度【如丙乙】过赤道处【如丙】为心作半圈于大圆之上【如乙戊甲半圆】亦如法作半圈于下两半圈各匀分十二分作识【若但求中气可分六分】上下相向作直线聫之即必与先所作日行道合为一线 又以甲丙为正九十度之底定尺而于其各正取底亦即与原定日道纬度线合【如丙辛三十度之正也与赤道旁第一纬线合丙丁六十度之正也与第二纬线合左右上下考之并同】
用法七 定时刻【仍用平仪】
法以平仪上赤道半径为正线九十度之底定尺而于各时刻距卯酉之度取其正于赤道作识【过两极轴线处即夘正酉正也距此而上三十度午前为辰正午后为申正距此而下三十度子前为戌正子后为寅正距此而上六十度午前为巳正午后为未正距此而下六十度子前为亥正子后为丑正至圆周处上为午正下为子正】即春秋分之时刻也欲作各时初正及刻凖此求之并以正为用【每时分初正各加距十五度初正又各分四刻每刻加距三度又四分之三并取正如前法】又以二至日道之半径为正
九十度之底定尺如
法取各正作识即二
至之时刻也 末以分
至线上时刻作弧线聫
之即得各节气之时刻
凖此论之平仪作时刻亦用正比例规觧以正名节气线切线名时刻线区而别之非是
第八切线【旧名时刻线今按平仪时刻原用正惟以日景取髙度定时刻斯用切线耳又如浑盖通宪等法亦皆切线其用甚多故不如直名切线】
切线不平分先小渐大至九十度竟平行无界故只用八十度或只作六十度亦可
分法 简切线本表八十度之切线五六七即于尺上作五六七平分次简各度数分之逢十加识
用法一 三角形求角
假如乙甲丁三角形求乙角任截角
旁线于丙得乙丙十寸自丙作垂线
戊丙量得七寸次用十数为切线四十五度之底定尺而以戊丙七数为底进退求等度得三十五度为乙角
用法二 求太阳地平上髙度【用直表】
法曰凡地平上直立之物皆可当表以表高数为切线四十五度之底定尺而取表影数为底进退求等度得日髙度之余切线
假如表髙一丈影长一丈五尺法以丈尺变为数用一十数当表髙为切线四十五度之底定尺次以一十五数当影长为底进退求等度得五十六度十九分为日髙之余度以减九十度得日髙三十三度四十一分
癸丙地平上日高度与壬辛
等其余度癸丁为日距天顶
与戊辛等甲戊为表长其影
戊已乃日距天顶之切线在
日高癸丙为余切线也
用法三 求太阳髙度用横表
植横木于墙以候日影即得倒影为正切线之度假如横表长一尺倒影在墙壁者长一尺五寸法用十数当横表为四十五度之底定尺次以十五数当影长进退求等度得五十六度十九分即命为日高之度
凡亭台之内日影可到者量其檐际之深可当横表
卯寅墙 子甲为横表
太阳光从丁过表端甲射丑成子丑倒影丁丙为
日在地平上髙度与午子度等故以子丑倒影为日髙度之正切线也
按直表之影低度则影长髙度则渐短日度益髙则影极短故以余切线当直影【前图是也】横表之影低度则影短髙度则渐长日度益髙则影极长故以正切线当倒影【后图是也】比例规觧乃俱倒説今正之
用法四 求北极出地度分 假如江宁府立夏后九
日午正立表一丈测得影长为
二尺四寸法以一百数当表髙
为切线四十五度之底定尺而
以二十四数为底进退求等数
得一十三度半如法以减九十度得七十六度半为日出地平上髙度简黄赤距度表是日太阳北纬一十九度以减日髙度得赤道髙五十七度半转减九十度得北极髙三十二度半防法以直表所得一十三度半加太阳北纬十九度即得三十二度半为北极髙度
解曰直表所得太阳距天顶度也加北纬即赤道距天顶度亦即北极出地度
又如顺天府立春后四日如法
用横表三尺得倒影二尺一寸
依切线法求得日髙三十五度
简表得本日太阳南纬一十五
度以加日髙度得赤道髙五十
度以减九十度得北极髙四十度
第九割线【旧名表心线今按割线非表心又割线之用甚多非只作日晷一事故直名割线为是】
割线不平分先小后大并与切线略同故亦只作八十度或只作六十度亦可
分法 用割线本表八十度之割线五七五平分之其初防与切线四十五度等次依表作度加识
用法一 三角形以割线求角
假如有甲乙丙三角形求甲角法任
于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂
线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十
九寸次以十数为割线初防之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度
用法二 作平面日晷【兼用割切二线】
法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲防起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分【如七度半加之成十五度即第二时又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八
八十二度半合线末元定之防】若逓加三
度四十五分而取底作识
即每时四刻全矣【按每七度半加
防乃二刻也今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰横线上定时刻
讫次取甲交防左右各十
二刻之度【即元定四十五度之切线亦即】
【半径全数】为割线上北极髙度之底定尺而取割线初防之底为表长【如壬庚】 次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极髙度之正切取底自甲防向
南截之如甲壬以壬为表位
又于北极髙度之余切线取底
自表位壬向南截之如壬辛以
辛为晷心 末自晷心辛向横
线上原定时刻作斜直线引长
之得时刻 时刻在子午线西
者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正
对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影若已末午初则庚防之影不射甲而射乙而庚甲影如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之防并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径则必与四十五度之切线同长】
以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道髙度随各方北极之髙而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极髙度之割线而取其初防为表长初防者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极髙度则庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北极度髙则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道髙甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲防失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之
庚壬表上指天顶下指地心为半径
壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬
为余切线甲角即赤道髙度壬庚甲
角即北极髙度与辛角等
用法三 先有表求作日晷【借用前图可解】
法先作子午直线任于线中定一防为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极髙余度之底得壬辛余切线于表位南作防【如辛】即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲防左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识防即得午前后时刻并如前法
用法四 有立面向正南作日晷并同平面法但以北极髙度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符
用法五 用横表作向东向西日晷
假如立面向正东法于近南作直线上指天顶下指地心近上作横线与地平相应两线相交于甲以甲为心于两线间作象限弧自下起数至本方北极出地度止自此向甲心作斜直线以分弧度
此线即为赤道次以甲为表
位用横表乙甲之长取数为
切线四十五度之底定尺递
取十五度切线从心向赤道
线累加之作识定时即春秋
分日影所到也【若分二刻则逓取七度半】
【细分每刻则逓取三度四十五分】次于甲心作横斜线如丁戊为赤道之垂线其余时刻防各作线与丁戊平行【亦并与赤道十字相交】次于元定尺上【即以表长为四十五度所定】取二十三度半之切线为度于甲左右截之为界【如丁甲如戊甲】即二至卯正时日影所到也【二分日卯正则乙甲表正对日光无影分前后则有纬度而影亦渐生日日不同然不离丁戊线至二至而极冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此为界向西酉正时亦然】仍用元尺取【每十五度之黄赤距纬】切线作于丁戊线内从甲防左右作识得各节气卯正日影【或取三十度切线则所得每月中气酉正亦然】
次以乙甲表长为割线初
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