为实 法除实得九百五十为负之一分 以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数 以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分 以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】
甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正则亦适足也于是以两者【右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正右贝减余为负】
又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣
丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也
此亦化整为零而又有整帯零【四色有空之例也】
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】
先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】 次以乙行五品五分遍乗甲行得数 乃对减 五品各八十分同名对减尽 六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类
七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负物负数也为一类 分正负列之与丙行相对
如法以减余六品分遍乗丙行六品七品分得数【余空无乗】
又以丙行六品分遍乗减余得数 乃以对减 六品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减余四百三十五分丙行之负物也自为一类 其余三位无减皆减余之负物负数也共为一类 分正负列之与丁行相对
又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位
上 中下
如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故【首行同名故两行之正负亦皆不变】又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数 乃对减 八品同减尽 七品同减余二百四十分右行之正物也为一类 九品三十无减禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同
名共为一类 乃分正负重列之与戊行相对
如法以左右七品分互遍乗得数【首行同名故两行之正负皆不变】七品同减尽 九品同减余九十为法 禄米四
百九十五石无减就为实 法除实得五石五斗为九品月俸 置九品俸以相当之七品之十一分除之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相当之十三乗之得六石五斗为八品月俸 又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗为七品月俸又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
五斗为六品四之一而以其分母四乗之得十石为六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之得二石为五品八之一而以其分母八乗之得十六石为五品月俸
计开 五品毎月十六石 六品毎月十石 七品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品毎月五石五斗
论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用分只用整 合而言之乃零整杂用之法也 零与整杂似不伦矣然乗除得数则同 但用分者所得数亦为一分之数故必以分母乗之乃合原数而其原不用分者得即原数更不湏乗能知此理则用分无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同之处则甲有诸品而乙惟六品之减余然则甲负之独多此较者乃甲诸品多于乙六品减余之较矣
丙行乗减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍余七品之余分右仍余诸品之全分则是两行诸数皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟余九品于正数内减去相同之七品分惟余七品之余分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九品与其七品余分之较也何也与之对减者乃左行适足之数故于较数无闗也【重列三次皆然】
戊行论曰右行内减去左行适足数惟余九品数则其下盈数必所余九品之数也 此条逓减归一其理较明学者翫之
此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并可悟偶加竒减之非
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何畣曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十【甲数三因七除得四十八多于乙数六乙数三因七除之得十八少于丙数二】
法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整
【○】 乙之三分【正】 丙一【负】负二【此行无甲数存与减余重列】
此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乗之和数甲全分七乗较行得数【依其正负】以较数甲正三分乗和行得数【从乗法皆命为正】 甲各二十一分同减尽乙异并七十分【正】丙三无减【正】下数同减余四百八十【正】皆同名不分正负以和数重列与第三行较数求之
上中 下
如法互乗减并 乙同减尽 丙异并七十九为法下数异并一千五百八十为实 法除实得二十
为丙数 丙数同减负二得一十八为乙七之三乃以三分除之得六为乙七之一以分母七乗之得四十二为乙数 乙数异加正六共四十八当甲七之三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二为甲数 此亦零整杂用之法也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分母乗之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乗则然也以分母七乗子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者七矣是乙以全数当甲七之三者七乗之则七乙当三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位正负亦分母乗何也乙一当甲七之三而少六则七乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
如法以前两行遍乗减并又重列之与第三行遍乗减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一千五百八十为实 法除实得二十为丙数
七因丙数得一百四十同减负十四余一百二十六以乙三除之得四十二为乙数
七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二为甲数
此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用不必齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一总数分数各几何畣曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如乙 甲乙共十一其四之三则八义四之一以丙相较不足四又四之一也
法曰此各行分母不同【如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二之一又有三之二皆有两分母】宜用变零从整之法以不同同之【用分则不同变而用整则不同而同矣】以分母各遍乗其本行而列之右行分母二 中行三左行四
如法互乗减并以三色较数变为二色而重列之【虽减并不同皆仍为较数不变宜翫】
如法互乗 乙同减尽 丙同减余负三十四为法正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙
数 六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七】
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也【推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之】
首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦
如法减并讫又重列之【两次减余皆和数可见立负之非】
又取末行与之为耦而列之
如法乗 丙减尽 丁并得四百八十为法 正二万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也 试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各防何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之
先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对
如法减并又列其余与季行相较
如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二百三十为实 法除实得九十为丁数
七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除之得三百一十五为甲数
问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何
因前问中有疉数故作此问以互明之
乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也】
在西法谓之连比例
上中下
首行互乗次行如故
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