负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已
法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海説详曰中余为法除下实盖本统宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也
又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已 今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗减 余城工五万四千尺为实 工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数
论曰此以下除中也縁所问每工一日土若干尺以工求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实反矣
若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每城工一尺之数以所问每千尺乗之得二十工是为城工每千尺用工二十日也 若用异同除则以土千尺乗一千○八十工得一百○八万工为实以法五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦同
于是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之得十六工减负一工余十五工河工九百尺数也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数也以问千尺乗之得十六工又三分工之二为河工千尺之数 用异乗同除以千尺乗十五工得一万五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之二亦同
问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲计土续工则每百尺得几工
畣曰开渠每土一百尺【二工半】筑堡每土一百尺二工
如法乗减 余堡工八十为实 土四千尺为法法除实得每尺百分工之二以百尺乗之得二工为筑堡每百尺之工【或异乗同除以百尺乗八十工得八千为实以法四千尺除之亦得每百工二工】 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以减共三千二百尺余一千二百尺渠土数也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半为开渠每百尺之工【或异乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百尺除之亦得每百尺二工半】
论曰此亦以下法除中实也縁所问以土求工故也又为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其分秒而所问者每百故又有异乗同除之用也并分母辨
自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载方程御襍法是也有实非方程法而列于方程如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如并分母之法是也诸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母
问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙则各足二千石
畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相减余二千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千石余八百石以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合
依带分化整为零法列位
如法乗减 甲减尽 余乙五分为法 余二千石为实 法除实得四百石为乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙窖 以乙之一分减二千石余一千六百石为甲窖
论曰此亦用五分为法也然为得数相减之余非并分母也所用之实亦二千石然为甲分互乗之数相减非甲乙两分母互乗相减也
亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先减去甲而余乙为法以先得乙之分若列乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖
如法乗减 乙减尽 甲余五分为法 余四千石为实 法除实得八百石为甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
以甲之一分减二千石余一千二百石为乙窖
论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而对减者皆实数也若并分母为法则无实数可言故不可以互求
愚于带分言之备矣或化整为零【如上所列二例是也】或变零从整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并分母为法则多所不通矣 凡此皆诸书沿误而同文算指亦皆收入未尝驳正也
试以分母非三与二者求之
假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之一益股则皆二丈二尺问句股各若干
畣曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上中 下
如法乗减 余股十一分为法 四丈四尺为实法除实得四尺为股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺为股
以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句
论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法也如并分母将以七为法其能合乎
又试以分子非之一者求之
假如有股与不知数但云若取六分之二以益股则五丈五尺若取股三分之二以当则少五丈五尺问若干
畣曰股三丈 七丈五尺
法以一和一较依化整法列位
如法互乗 股同名减尽 异名并得二十二分为法 数异名并得二十七丈五尺为实 法除实得一丈二尺五寸为之一分以分母六乗其一分得七丈五尺为 以之二分二丈五尺减共五丈五尺余三丈为股
论曰此以二十二为法也若以列于上则亦二十二为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫厘千里乎
以上数则皆不可并分母为法
问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之一与乙三之一等各若干
畣曰甲八百石 乙一千二百石
法以和较襍列位亦用化整为零
徧乗甲同减尽 乙异并五分为法 二千石无减为实 法除实为乙之一分 以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙仓 因适足故乙之一分犹甲之一分也以甲分母二乗之得八百石为甲仓
论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异名者也又按并母法与方程不同
假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数若干
畣曰原数二千四百石
法以两母互乗其子而并之得五为法 以两母相乗得六以乗二千石得一万二千石为实 法除实得二千四百石为原仓之粟
论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并两分母互乗其子之数也盖既曰三分二分其原数必可以三分之又二分之者也故以两分母相乗得六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必二千四百石矣此通分法非方程
设问之误辨
算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目
今将同文算指所载井不知深例考定如后余如此者尚多不能一一为辨也【钱塘吴信民九章比类亦载是例非同文创立也盖方程之沿误久矣】
问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各若干
原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位
一甲二 乙一○○ ○ 七百二十一二○乙三丙一 ○ ○ 七百二十一三○○ 丙四 丁一○ 七百二十一四○○ ○丁五戊一 七百二十一五甲一 ○负一 ○负一 ○负一 戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗
先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】
五行甲一亦遍乗一行对减【甲得二减尽乙得一因五行乙空立负一积七七百二十一本数以减五行仍余七百二十一】
次以二行乙三乗五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】
五行乙负一亦乗二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积共二千八百八十四】
再以三行丙四乗五行【丙负一得四戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】
五行丙负一亦乗三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行对减余一万○八百一十五】
又以四行丁五乗五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万○八百一十五得五万四千○七十五】
五行丁负一亦乗四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千○七十五共五万四千七百九十六】
乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得丁绳一丈二尺九寸以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行积余五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除之得甲绳二丈六尺五寸
论曰此一例中有数误 一者以末行为主而以一二三四与之相乗此由不知和较交变而沿竒减偶加之失误一 一者谓末行有空故立负由不知有空径求而沿立负之非误二 一者以除法命为井深而设问不明言丈尺误三 又辄立母逓相乗加借子一之法误四 一例中误至数端将令学者何所措意乎
前之两误【谓以未行为主而竒减偶加反立负之法】业于梨诸例辨之綦详可以互见今特明后两误之非具如后论
凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得数何以命之
详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乗减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二十一之虚率而不能防其为丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分
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