论曰此其母与母相乗子与子相乗与前略同但末后相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一十九为法无他较数也若依母相乗而并子岂不误哉
且四次乗减其下较皆异倂亦足见竒减偶并之非又以法同而得数迥异者明之
今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若干
法以和较带分列位 化整为零
甲同减尽 乙一【左负】戊一十二【右正】皆无减 一千四百四十一亦无减 隔行异名即同名也变为和数重列之与次行对
乙同减尽 丙一【左负】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆无减 皆隔行异名亦变和数重列与第三行对
丙同减尽 丁一【左负】戊三十六【右正】一万七千三百○四【右正】皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对
丁同减尽 戊异并七百二十一为法 八万六千五百二十无减就为实 法除实得一百二十为戊六之一即丁数 五除之得二十四为丁五之一即丙数 四除之得六为丙四之一即乙数 三除之得二为乙三之一即甲数 半之得一为甲二之一以减共七百二十一余七百二十为戊数
计开
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎
又试以分子逓借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四则各能载问各船若干
法以和数列位
列后
甲减尽 乙四【右】丁一百【左】皆无减 以两行故分正负 载盐余五万九千八百五十六【左】与丁同名甲空与减余对次行
乙同减尽 丙八【左正】丁一千【右负】俱无减 引异并六十三万八千四百六十四【右负左正】异名在隔行复变和数无正负 乙空以减余对三行
丙减尽 丁余九千九百七十六为法 引余六百三十万○四千八百三十二为实 法除实得六百三十二引为丁船数 以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六以减共九千九百七十六引余八千○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙船数 以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六以减共九千九百七十六引余八千三百六十乙所载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数以乙船数减共九千九百七十六余九千一百四十甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数计开各船每只载数
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
丁船六百三十二引
论曰此四色方程逓借法与诸书所载马骡载米同亦与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又误立各母逓乗加借子法故设此问以显其理
此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引数何知之
共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐列位者问者现据之实数数虽偶同为用逈别
以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也谓母相乗而加借子一则非法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又如后条马歩舟师各借二分者又何以处之数虽似不可施之他数非通法矣
又试以三色例亦用异加得除法者观之
假如有马歩舟师不知数但云取骑兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆得六千七百八十名
畣曰歩卒四千五百名 骑兵五千七百名
舟师三千七百八十名
法以和数带分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒减尽 骑二分【右】舟师十分○半【左】皆无减 共数减余三千三百九十【左】分余两行变较数也 以较数与舟师同名中行步卒原空径以减余作二色列之
依省算四因左行而退位 骑同减尽 舟师异并十一分三厘为法 和较数异并六千一百○二为实 法除实得五百四十为舟师之一分 以分母七乗之得三千七百八十名为舟师数
以舟师数减共数六千七百八十余三千所借步卒之二分也 二除之分母三乗之得四千五百为歩卒数
以歩卒数减共数六千七百八十余二千二百八十所借骑兵之二分也 二除之分母五乗之得五千七百名为骑兵数
论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也
厯算全书卷四十三
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷四十四
宣城梅文鼎撰
方程论卷五
测量
测量非方程事也方程者算术算术恃计测量恃目实惟两途测量之不能兼算术犹算术之不能兼测量虽曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股诸法在
测量在方程有二
一曰隂云测量
隂云者不见宿度而云影微薄之处犹能见五纬若见二星则有其相距之度而可以方程取之矣
一曰宿度测量
宿度者虽无隂翳而无仪器故借宿距一定之度以取之必有二星同见或星与太隂同见则成方程之算矣
隂云测法
假如隂云不见宿次但于云隙测得辰星在太白后一度又二日荧惑与二星同在一度又二日太白在荧惑前三度而辰星云翳又一日辰星在房初度余不可见又十二日荧惑始至房初问各行率若干畣曰辰星每日行二度 太白每日行一度有半荧惑每日行半度
解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度荧惑与太白同行三日而太白多三度 辰星行四日荧惑十六日而行度相当也
法曰以较数列位
依省算以左行半之与右相减辰星同减尽太白二日【右负】荧惑八日【左负】皆无减分正负【同名在隔行即异名也】正 一度亦无减【与荧惑同名】
重列减余与中行
依省算以左行减三之一乃对减 太白同减尽荧惑同减余六日为法 行度异并三度为实 法除实得半度为荧惑每日行率 以右减余八日乗之得四度同减负一度余三度以太白二日除之得一度半为太白日行率 以右行太白二日行三度异加正一度共四度以辰星二日除之得二度为辰星每日行率
假如测得辰星在金星后二度隂云不知宿次但于四日后见二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星云翳至第四日金星亦至房初而水星未见问两星每日行率若干
解曰此两星各行四日而辰星多二度 辰星行三日金星行四日而其度相当
法以较数列位
二色者有一色偶同依省算径以对减 金星同减尽 辰星同减余一日为法 正二度无减为实法一省除径以二度为辰星每日行率 以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半
若欲知前两测某宿度者以金星四日行六度为二星同度距房初之数 又加金星同行四日六度共十二度为前测金星距房之度 又加辰星在金星后二度为辰星前测距房之度 各以距度与房初度相求得前两测星躔宿度
如顺行者前所测之宿在房后也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭减之不尽者以转减前宿之度得星所在宿度 如逆行者前所测之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓减之减不及者即命为后宿星所在之度
假如甲子日金星夕见乙丑日水星夕见至丁卯日水星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以阴晦不能细知宿次问各率若干
解曰此金星行四日水星三日相当
金星行三日水星二日则水星不及半度
法以较数列位
依省算左行二分加一 水同减尽 金同减余半日为法空度七分半为实 法除实得金星日行一度半 金三日行四度半同减负半度余四度以水星二日除之得日行二度
假如广福二船哨海福船先发行五日广船行三日遇于中途其泛地相距二千五百里遂又同往一岛广船行四日先至候六日福船始至问各船每日行率解曰此广船疾福船迟也 广船三日福船五日共行水面二千五百里 广船四日福船十日而水程相当
畣曰广船日行五百里
福船日行二百里
法以一和一较列位
如法遍乗 广船同减尽 福船异并五十日为法正一万里无减为实 法除实得二百里为福船
毎日行率 福船十日行二千里以广船四日除之得五百里为广船每日行率
又如自东徂西共二千里先乗车行五日换舟行八日至其国其舟与车复同往一处车先行六日舟乃发行四日逐及问舟车行率
畣曰舟每日二百里 车每日八十里
解曰舟疾车迟 舟八日车五日共行二千里 舟四日车十日行适相当
依省算半右行数 舟同减尽 车异并十二日半为法 正一千里无减为实 法除实得八十里为车率 以舟四日除车十日所行八百里得二百里为舟行率
假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字风东行但甲船先发解防七日乙船后行解防五日追及于一岛又自此岛用正子午字风南行但甲又先发解防九日泊于南洋乙后发解防七日泊于又南洋其二洋相距二百里问道里各数
法以较数列位
甲船同减尽 乙船余四日为法 负一千四百里为实 法除实得三百五十里为乙船每日率 以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里为甲船率 其一千七百五十里即山岛相去之程 以甲船九日行二千二百五十里为岛去南洋之程 又加二百里为又南洋之程合问计开
甲船每日行二百五十里
乙船毎日行三百五十里
山岛之距一千七百五十里
岛距南洋二千二百五十里
距又南洋二千四百五十里
自山至又南洋共水程四千二百里
又假如二人同往西番公干一人车一人骑车自某山西行九日骑自某河西行十日及之于一城其河在山之东相距三百里又自此城西行八日骑先至一国驻劄候一日车至问道里各如干
法以较数列位
如法径减 余骑二日为法 三百里为实 法除实得一百五十里为骑行率 并骑前后共十八日行二千七百里为所驻西国距河之程骑所行也减河距山三百里余二千四百里为西国距山之程车所行也 并前后车行十八日除之得一百三十三里又三分里之一【即一百二十步也】为车行每日里率用车行里率乗九日得一千二百为城距山之程以减总距余亦一千二百里为西国距城之程计开
骑日行一百五十里 前后共行二千七百里车日行一百三十三里又三分里之一 前后共行一千四百里
城距山一千二百里 距河一千五百里
国距城一千二百里 距山二千四百里 距河二千七百里
此上数则近事易知用明测量之理
宿度测法
凡测量之法有测器又有水漏则虽阴云可以所见者得其度若但有测器而无水漏可以所见两星之距度取之如前所列隂云不知宿度之法是也乃又无测器而但据目见则当以宿度取之盖宿有一定之度借以为两星之和度较度因所知以求不知此则方程之法可为测量者助也至于诸星行率古今厯术不同学者通其意无拘其数焉其可
若一星单行非仪器比量莫知其迟疾之度然晴雨难期则亦有因所见以测所不见之时故算术不可废也
五星错行多有相遇则和度较度可施若太隂毎月经行廿八宿一次与五星相遇亦每月有之精于推步者虽非假此定星然用与厯术相参有不借仪器而知迟疾使看者引騐见効亦算家之乐也
其五星各有迟疾留逆故测量比例当于相近日数内求之则所差亦不多也
其迟疾变行湏查七政厯以约其日则一星单行亦自可考其进退之数
两星相较例
假如两宿原有定距【如房距心】若干度有一纬星在其间【如金在房心间】以旁星记之越若干日纬星行至东宿【如心】又别一纬星【如火星】在西宿【如房】越若干日行至先所记旁星之处
此因无仪细测故借宿度用之如上所举乃以宿距为二星和度也一纬星若干日【如金】一纬星若干日【如火】共行天若干度【如房度】故曰和度
又如以一宿为主【如心】有纬星在其西【如木】以旁星记之越若干日纬星行过宿东至后一宿【如尾】又或异日别一纬星【如土】亦在前记纬星处所越
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