数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五
整数一 八 【之 通三 为】八 之【十一】
减数四 【之三】 变八 之六
存数八 之五
互乘法
凡分母不同者先互乘以同其母以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多
【法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其
子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之
二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一】
甲多三十五之一
凡分母同者视其子为大小【子数大者即大小者即小】若子同而母不同者反是【母数大者子数反小】亦以互乘见之如后图
【甲六之四乙五之四】互得三十【之二十 丙四之三之卄四 丁五之三】互得二十之【十五十二】
乙多 三十分之四 丙多二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也
凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数该若干
答曰丁得甲三十五之二十三
【先以分母通整数为分而纳入分子
次以减数分母相乘为共母又互乘
其子而并之是为三十五之五十八】
丁存三十五之卄三 【以减甲数仍余三十五之卄三合问】子乘母除法
凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者并用此法可代维乘】
假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四该余若干
存卄八 之二十一 约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七 又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】
【论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图】
一率【分母七】 法以子之四乘所变分母二十八得一百二率【分子四】 十二为实分母七为法除之得所变分子三率【分母卄八】 为十六其比例为七与四若二十八与十四率【分子十六】 六也
又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也
假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数该若干
答曰丙得五之四
丙存五 之四 九十 之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数 又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四 约分法详后条】约分防法 置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得
数【十八】为法除之得五之四为丙存数【以十八除九十得五十八除七十二得四约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘而得者也故于还原最切】
论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣
试先减乙丙数则所存者即甲数【法同上】
甲存 【约为】六 之四即九十 之六十
若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣
假如有数五百○四之四百○一甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊数该若干 答曰戊得四之一
原数 五百○四之四百○ 一
甲减 八 之一 六十三
乙减 六 之一 以各减母除原母得八十四
丙减 七 之一 七十二
丁减 九 之一 五十六
共减二百七十五
戊存 五百○四之一百二十六约为 四 之一【以所存之数除原母即得】
解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类
大分小分减法
凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减不足减者借整数以分母通为分【小分不足减亦以小分之母通大分为小分 其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法
假如西厯得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻
答曰壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分】
日 时 分【时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十】
平朔三□○□一□【先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分实距时】七四□ 【六十并原小分共七十六减四十余三十六 次减大分七原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一通为二十四减七余十七 原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之故借整化零之防改为直号
右系大小分母并同故竟以对减
假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数该若干
答曰乙得九之八又八之三
乃重列之【小分既同即可相减】
乙存九 之八 二百之七十五 约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五 次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】
试先减乙【用变分母法以代互乘余并同上】
原数一 九 之□又 四十 之七减乙九 之八又八 之三变四十 之一十五存甲九 之四又五 之四即四十 之三十二解曰【四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣】右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干
答曰一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五母子各五约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原小分一共二十之十六乃列而减之【如此则大分小分合而为一与原数无小分者类矣】
存丙一又六十 之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也
右系大分母不同故通为小分而减之
以上大分小分法为通分减法之又一类通分子母乘法
假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分
法以分子之二乘田三十六亩六分得
七十三分二以分母三收之得二两四
钱四分合问
何以知其为七十三分也曰原问毎亩
徴银三分钱之二分故于右行实数内
寻毎亩之位为定位之根以横对左行
得数即命为分则上下俱定矣
假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤
先以斤法【十六】收十二两为斤下之七分
五厘加八斤共八七五为法以乘银六
十四两得五六○○○即于右行实数
内寻毎两位以横对左行得数命法尾
厘推而上之定为五百六十斤
假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一
法以分母三通五石为十五分纳子二
共十七分以价之八乘之得一百三十
六又以两分母【三九】相乘得二十七收之
合问
通分子母除法
假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干
答曰三十六亩六分
法以分母【三】通二两四钱四分为七十
三分二为实以分子之二为法除之即
得三十六亩六分合问【原所设三分之二以钱为主故
四分所通为小分】
假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干
答曰九分两之八
法先以米分母【三】通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母【卄七】通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八
又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】
假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干 答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位【即一十除也】命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二防法【以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】
假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】
法【先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微 不尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六】
论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百
假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干 答曰三疋
一 粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一
四 布五分疋之【十五】 收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问
假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干
答曰十八分两之一
四 金【十八】分两之一
法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八以乘金母【九】得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问
若用变分母法则如后式
一 银二两【又三之二】通为三之八乘得【七十二】为法【
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